4.3.1等比数列的概念课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念及 通项公式 思考：观察下列两个实例，比较两个实例中数列的共同特征？ 1， 2， 4， 8，…. 问题创设 实例1：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，···，那么细胞分裂而成的个数依次是 实例2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为 数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____ 数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____ 2 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一常数（等比） 1，2，4，8，…. 问题创设 你能通过运算发现数列的取值规律吗？ 1. 等比数列的定义: 一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母 q 表示. 2.等比数列定义的符号语言: (q为常数，且q≠0 ；n∈N*) (q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*) [或 ] 知识讲解 (显然q≠0) (1) 1，3，9，27，… (2) 5， 5， 5， 5，… (3) 1，-1，1，-1，… (4) 1，0，1，0，… 判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不是，说明理由． 是 是 是 a1=1, q=3 a1=5, q=1 a1=1, q= -1 不是 小试牛刀 (5) 0，0，0，0，… (6) 1 , a, a2, a3 , … (7) x0, x, x2, x3 , … 不是 a1=x0, q=x 是 不一定 思考： (1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？ 等差数列的项和公差都可以为0；等比数列的项和公比都不可以为0. (2)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1. (3)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？ q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致； q<0时，等比数列各项符号正负间隔，奇数项和偶数项分别同号。 题型一　等比数列的判定 例1　(1)判断下列数列是否为等比数列． ①1,3,32,33，…，3n－1，…； ②－1,1,2,4,8，…； ③a1，a2，a3，…，an，…. 方法提升 例2 (2)已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否为等比数列． 能否在下列两个数中间插入一个数，使这三个数组成一个等比数列？可以的话，请求出插入的数字 合作探究 思考：如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G应该满足什么条件？ 探究新知 反之，若 即a,G,b成等比数列. ∴a, G, b成等比数列 则  (ab>0) (ab>0) 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b组成一个等比数列，则中间的数G叫做a与b的等比中项，且 注意：(1)若实数a、b有等比中项，则a、b符号相同； (2)若实数a、b有等比中项，则该等比中项必有两个值 若G2=ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 2、等比中项： 新知归纳       思考：类比等差数列中，n>1时，2an=an-1+an+1, 等比数列中，相邻三项有什么样的关系？ C [大本例2]　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________. -3 9 [大本例2]　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________. [解析]　∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9. 应用等比中项解题的两个关注点 (1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示． (2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要关注项的符号关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同． 合作探究 你能根据等比数列的定义推导出它的通项公式吗? … … 方法:归纳法 1 1 - = n n q a ∴a (n-1)个 式子 … … 证明：累乘法 (n-1)个 q相乘 3.等比数列的通项公式 解惑提高 等比数列 ，首项为 ,公比为q,