专题4-4 全等三角形常考模型汇总【十大模型】-2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破（北师大版）

2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破 专题4-4 全等三角形常考模型汇总 模型梳理 2 【模型1】 倍长中线模型 14 【模型2】 三垂直模型 16 【模型3】 一线三等角模型 20 【模型4】 手拉手模型 23 【模型5】 截长补短模型 26 【模型6】 平行线夹中点模型 29 【模型7】 半角模型 30 【模型8】 对角互补模型 32 【模型9】 婆罗摩笈多模型 34 【模型10】 脚蹬脚模型 35 模型梳理 模型1 倍长中线模型 （一）基本模型 A B D C E 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE． 结论1：△ACD≌△EBD． A B D C F E 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF． 结论2：△BDE≌△CDF． 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F， 结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS） （二）结论推导 结论1：△ACD≌△EBD． 证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD． ∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD． 结论2：△BDE≌△CDF． 证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD． ∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF． （三）解题技巧 遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形． 模型2-3 一线三等角模型 （一）基本模型 A B D P C 1 2 3 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论1：△CAP≌△PBD． 1 2 3 D P C B A 已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论2：△APC≌△BDP． （二）结论推导 结论1：△CAP≌△PBD． 证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD． ∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD． 结论2：△APC≌△BDP． 证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3， ∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP． （三）解题技巧 在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查． 【补充：一线三垂直模型介绍】 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等.根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系. 模型4 手拉手模型 （一）基本模型 A D E B C O 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA． 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE． （二）结论推导 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE． 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE．A D E B C O F 结论2：∠BOC＝∠BAC． 证明：设OB与AC相交于点F． ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC． 结论3：OA平分∠BOE．A D E B C O G H 证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H． ∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE， ∴＝． ∵BD＝CE，∴AG＝AH， ∴OA平分∠BOE． （三）解题技巧 如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． 模型5 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）