专题5.1数列的通项及求和（真题体验+十二个重难热点+模拟练）-2024年新高考数学二轮复习重难点提升精讲（新高考专用）

专题5.1数列的通项及求和 1．（2023年北京高考数学真题）已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 7．（2022年新高考天津数学高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 9．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 10．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 题型一 累加累乘求通项 【解题方法】对于递推公式为，一般利用累加法；对于递推公式为，一般利用累乘法求出数列的通项公式 【例1】已知数列满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．4045 D．4047 【例2】已知数列满足，且对任意，有，则 . 【变式1-1】已知正项数列满足，则 . 【变式1-2】在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 . 【变式1-3】已知数列的前项和为，且，，则 . 题型二 与的关系求通项 【解题方法】利用构造两式作差求解，用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达 【例3】已知数列的前项和为，且，给出下列结论：①；②；③；④存在常数，使得数列是等比数列．其中所有正确结论的序号为 ． 【例4】已知数列的前项和满足． (1)求证：是等差数列； (2)若当且仅当时，最大，比较与的大小． 【变式2-1】已知数列的前项和，当取最小值时， . 【变式2-2】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 【变式2-3】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值. 题型三 待定系数法求通项 【解题方法】1.形如（其中均为常数且）型：设 2.形如型:（1）当为等差数列时：设; （2）当为等比数列时：设 【例5】（多选）已知数列满足，则（    ） A．是等差数列 B．的前项和为 C．是单调递增数列 D．数列的最小项为4 【例6】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 【变式3-1】若数列满足,． (1)证明:是等比数列； (2)设的前n项和为,求满足的n的最大值． 【变式3-2】已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 【变式3-3】设数列满足，． (1)求证：为等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型四 隔项等差（比）数列 【解题方法】1.形如可推出，即奇数项构成以为首项的等差数列，公差为；偶数项构成以为首项的等差数列，公差为； 2.形如，，可推出，即奇数项构成以为首项的等比数列，公比为；偶数项构成以为首项的等比数列，公比为 【例7】在数列中，已知，，求通项公式． 【例8】（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【变式4-1】在数列中，，且. (1)证明：，都是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和，并比较与的大小； 【变式4-2】已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列. 【变式4-3】已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 题型五 分段递