3.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第一课时 抛物线的简单几何性质 1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．　 2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题． 学习目标 在平面内,与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) y2=2px (p>0) x2=-2py (p>0) 定义： 复习 3 3 由抛物线 y2 =2px（p>0） 有 所以抛物线的范围为 总结：抛物线在y轴的右侧， 当x的值增大时，︱y︱也增大， 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 抛物线y2 = 2px (p>0)的有哪些几何性质： 探究1：抛物线性质（一） l F K M N y x o 范围 抛物线在第一象限的图像 对应的函数为：_______ x↗y___ ↗ ≥ 关于x轴 对称 即点(x,-y) 也在抛物线上, ∴抛物线y2 = 2px ( p>0)关于x轴对称. 则 (-y)2 = 2px 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， l F K M N y x o 对称性 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。 y2 = 2px (p>0)中， 令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）. 注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。 l F K M N y x o 顶点 定义：抛物线上的点与焦点的距离 和它到准线的距离之比， 叫做抛物线的离心率。 由定义知，抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=___. 下面请大家得出 其余三种标准方程抛物线的几何性质. l F K M N y x o 离心率 1 归纳：抛物线的几何性质 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y≤0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 总结特点并说说与其他两种圆锥曲线的区别 1.抛物线只位于半个坐标平面内, 虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴, 没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P 越大,开口越开阔 l F K M N y x o 探究2：抛物线的焦点弦长1 设直线与二次曲线交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点， 直线AB的斜率为k． 弦长公式 焦点弦长是否适用弦长公式？ 有没有更简单的计算方法？ x O y A B F D E (x1, y1) (x2, y2) |AF|＝______ |AF|＝______ |AB|＝_________＝______ M (x0, y0) 焦点弦长公式 x O y A B F 当AB⊥x轴时，x1=x2=x0=___ |AB|＝_________＝______ 通径长 焦点弦 AB 称之为 通径 探究2：抛物线的焦点弦长2 x O y A B F D E (x1, y1) (x2, y2) α 解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高! 探究2：抛物线的焦点弦长2 x O y A B F D E (x1, y1) (x2, y2) α 几何法 公式法 (4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ x O y A B F θ 证明: 思路分析|AB|=|AF|+|BF|= 思考：焦点弦何时最短？ 过焦点的所有弦中，通径最短 注意: 过焦点的所有弦中，通径最短； 这一结论在一般圆锥曲线中也成立的! 探究3：抛物线的焦点弦性质1 x O y A B F D E (x1, y1) (x2, y2) x1x2= ; y1y2= ; p2/4 -p2 证明：思路分析：韦达定理 x O y A B F D E (x1, y1) (x2, y2) 抛物线的焦点弦性质 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和 抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 (1)|AB|=x1+x2+p= (2)通径长为 (3)x1x2=