每日一题之一题多解8 数列与不等式恒成立问题 讲义—— 2024届高考数学二轮复习

专题8   数列与不等式恒成立问题 【2023-2024年华中师大一附中高二上期末】记上的可导函数的导函数为， 满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且， 数列为牛顿数列．设，已知，则______，数列的前项和为， 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______． 根据题意得出递推公式，由化简得出为等比数列，求其通项及和，分离参数结合对勾函数的性质求最值即可. 由题意知：， 又， ， ，又因为， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． 所以． 显然递增． 而不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 由双勾函数，在单调递减，在单调递增． 所以当，即时，取得最小值． 所以的最大值为，所以答案为． 1．艾萨克·牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出了一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和3，数列为牛顿数列，，且，，则数列的通项公式为 ． （2023·河南开封·模拟预测） 2．已知数列的前n项和为，，且，若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 根据题意得出递推公式，结合已知计算数列前几项，由不完全归纳法得数列通项，再分离参数结合对勾函数的性质求最值即可. 由题意知：， 又，， 同理可得， 所以可由不完全归纳法推出． 所以． 显然递增． 而不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 由双勾函数，在单调递减，在单调递增． 所以当，即时，取得最小值． 所以的最大值为，所以答案为． 总评 本题是一道以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理，对递推公式的变形有较高的要求，通常出现在选择题和填空题难度一般为中等偏难．解决此类问题的一般思路有： （一）特殊到一般的思想，通过列举找到数列的规律，求出通项公式，将恒成立问题转化为最值问题； （二）通过递推公式的结构，找到对应求数列通项的方法求出通项公式，在将恒成立问题转化为最值问题； 从不等式恒成立问题角度出发，可采用处理恒成立的策略（分类讨论，分离参数等），差异在于将变量变成了一个数列的前项和，因此只需求出的范围，此问题就与我们熟悉的恒成立问题一致了，而要求前项和，必须找到数列的通项，通项有递推公式求或则不完全归纳法观察得出． 3．已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是 . （22-23高二上·江苏镇江·期末） 4．已知数列满足，若对任意正实数，总存在和相邻两项，使得成立，则实数t的最小值为（ ） A．9 B．9.5 C．10.5 D．17 （22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 5．已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（ ） A．2 B．1 C． D． 6．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ） A． （其中） B．数列是递减数列 C． D．数列的前n项和 9．已知是各项均为正实数的数列的前n项和，，若，则实数m的取值范围是 ． （22-23高二下·湖南邵阳·期中） 10．已知数列的首项，数列满足，为数列的前n项和，且满足：，则数列的通项公式为 ，若对且，不等式恒成立，则t的取值范围为 （2024高三·江苏·专题练习） 11．数列满足，数列满足，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【解析】根据函数有两个零点1和3可将写成零点式,再利用求得关于的地推公式,进而根据求得的通项公式即可. 【详解】函数有两个零点1和3可得 .故.由题意得 . 故. 故. 故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了新定义的问题方法,需要根据题意找到对应的数列的递推关系,从而推导出为等比数列.属于难题. 2．B 【分析】 根据递推公式等价变形构造等比数列，求出数列的通