第1章二次函数集训课堂练素养1.求二次函数表达式的方法习题课件　2023—2024学年湘教版数学九年级下册

1.求二次函数表达式的方法 练素养 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C． 1 2 (1)求抛物线的表达式； 3 【解】存在，点P的坐标为(－2，3)或(3，－12)． 4 【点拨】 5 6 在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图(a)所示． 2 (1)求抛物线的表达式． (2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图(b)所示. ①求△CMN面积的最小值． 13 14 (母题：教材P19习题T5) 已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)． (1)求这条抛物线的对称轴； 3 【解】∵y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3，∴这条抛物线的对称轴为直线x＝1. (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围． 【解】∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴Q(3，y2)关于直线x＝1的对称点的坐标为(－1，y2)． ∴当a>0时，若y1<y2，则－1<m<3； 当a＜0时，若y1<y2，则m<－1或m>3. [2023·株洲景弘中学模拟]已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点． 4 (1)求抛物线的表达式，并写出顶点坐标； 【解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，∴y＝a(x－1)(x＋3)＝ax2＋2ax－3a. ∴－3a＝3，∴a＝－1.∴y＝－x2－2x＋3. ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(－1，4)． (2)如图，连接PB，PO，PC，BC，OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，求出点D的坐标． 【解】如图，过点D作DM⊥y轴于点M. 在y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3， ∴C点的坐标为(0，3)． ∴OC＝3. ∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，∴CD∶BD＝1∶2. [2022·杭州]设二次函数y1＝2x2＋bx＋c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y1的表达式及其图象的对称轴； 5 (2)若函数y1的表达式可以写成y1＝2(x－h)2－2(h是常数)的形式，求b＋c的最小值； 【解】把y1＝2(x－h)2－2化成一般式得，y1＝2x2－ 4hx＋2h2－2.∴b＝－4h，c＝2h2－2. ∴b＋c＝2h2－4h－2＝2(h－1)2－4. ∴当h＝1时，b＋c取得最小值，最小值是－4. (3)设一次函数y2＝x－m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1＝2(x－m)(x－m－2)的形式，当函数y＝y1－y2的图象经过点(x0，0)时，求x0－m的值． 25 如图，抛物线L：y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，D为抛物线L的顶点. 6 26 (1)求抛物线L的表达式； 27 28 29 30 【解】由抛物线与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. (2)抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 理由如下：∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4，抛物线y＝－x2－2x＋3与y轴交于点C，且x＝0时，y＝3，∴C点的坐标为(0，3)，∴OC＝3，∴S△ABC＝ AB·OC＝×4×3＝6，∴S△PBC＝S△ABC＝3. 作PE∥x轴交直线BC于点E，如图． 设直线BC的表达式为y＝kx＋m，将B，C的坐标代入得解得∴直线BC的表达式为y＝－3x＋3.设点P的坐标为(t，－t2－2t＋3)，令－3x＋3＝－t2－2t＋3，解得x＝，∴E，∴PE＝＝，∴S△PBC＝××3＝3，解得t＝－2或3，∴点P的坐标为(－2，3)或(3，－12)． 【解】设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 在等腰直角三角形ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4， ∴OA＝OB＝OC＝2.∴A(－2，0)，B(2，0)，C(0，－2)． ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－2. 【解】设直线l的表达式为y＝kx，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由可得x2－kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1·x2＝－4.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4k2＋16.∴|x1－x2|＝2.∴S△CMN＝OC·|x1－x2|＝2.∴当k＝0时，2取最小值4.∴