第2章圆集训课堂练素养2.圆中常见的计算题型习题课件　2023—2024学年湘教版数学九年级下册

2.圆中常见的计算题型 练素养 第2章 圆 如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD． 1 2 (1)求证：△ABD≌△CDB； 3 (2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数． 【解】∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE. ∴∠ABE＝90°. ∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°. ∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°， 即∠ADC的度数为37°. 4 [2023·本溪]如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC． 2 (1)求证：EF与⊙O相切； 【证明】如图，连接OE. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE. ∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE. 又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠ACB＝∠OEF. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF. 又∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线． [2023·郴州一中月考]如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E. 3 (1)求证：∠ACB＝2∠ADE； 【证明】如图，连接OD，CD. ∵DE是半圆O的切线， ∴∠ODE＝90°， 即∠ODC＋∠EDC＝90°. ∵BC为半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB. ∴∠ADC＝90°，即∠ADE＋∠EDC＝90°. ∴∠ADE＝∠ODC. ∵AC＝BC，CD⊥AB，∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD. ∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠ACB＝2∠ADE. 12 4 【点拨】 【答案】B 连接OC，易证△CDO≌△CEO，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形OAB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形OAB的面积减去正方形CDOE的面积就可得出答案． 14 (母题：教材P86习题T3) 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过点F作FG⊥BA，垂足为G. 5 (1)求证：FG是⊙O的切线； ∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形．∴∠ABO＝60°. ∵∠EOF＝60°，∴∠ABO＝∠EOF.∴AB∥OF. ∴∠OFG＝180°－∠BGF＝90°，即OF⊥GF. 又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线． 【点方法】 本题运用等积法，通过作辅助线，将阴影部分的面积转化为扇形的面积 . 20 (母题：教材P80例4) 如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？ 6 21 22 7 【点拨】 【答案】D 24 [2022·衡阳]如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm(结果保留π)． 8 4π 【点拨】 重物上升的距离等于半径为6 cm，圆心角为120°的弧所对应的弧长． 26 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行，设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ 交于P，Q两点，与直线DE交于 B，C两点，恰有AD2＝ BD·CD，连接AB，AC． 9 (1)求证：AD为⊙O的切线； 【证明】如图，连接AO并延长，交⊙O于点G，连接 BG，则∠ACB＝∠AGB. ∵AG是⊙O的直径， ∴∠ABG＝90°. ∴∠BAG＋ ∠AGB＝90°. 【解】如图，当水面上升到GH，即点Q与点G重合，点P与点H重合时，A，O，Q 三点恰好共线，作OM⊥GH 于点M. 31 【证明】∵AB，CD是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠CBD＝90°. 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)． 【解】设⊙O的半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1. ∵sin∠AFE＝＝＝，∴r＝4，∴AB＝2r＝8. ∵∠AFE＝∠ABC，∴sin∠ABC＝sin∠AFE. ∴在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝， ∴AC＝AB＝×8＝，∴BC＝＝. (2)若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的长． (2)若DE＝3，AE＝，求的长． 【解】由(1)知∠ADE＋∠EDC＝90°，∠ADE＝∠DCE，∴∠DCE＋∠EDC＝90°. ∴∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°. ∵DE＝3，AE＝，∴AD＝＝2. ∴∠ADE＝30°.∴∠A＝60°. 又∵AC＝