提练第7招巧用勾股定理解决圆的计算问题 习题课件 2023-2024学年湘教版数学九年级下册

第7招 巧用勾股定理解决圆的计算问题 例 典 例 剖 析 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O的半径． 【解题秘方1】 连半径，利用圆周角与圆心角的关系说明半径与弦构成直角三角形，再结合勾股定理求解． 【解题秘方2】 作直径，利用直径所对的圆周角是直角说明直径与弦构成直角三角形，再结合勾股定理求解． 技巧 1 直接运用勾股定理计算 分 类 训 练 1 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E.若OC＝5，OE＝3，求CD的长． 2 [2023·长沙北雅中学期末]如图，在直径为10 cm的⊙O中，AB＝6 cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于________． 4 cm 技巧 2 运用“单勾股”列方程 π 【点拨】 【点拨】 技巧 3 运用“双勾股”列方程 【解】如图，连接OD，设OA＝OB＝OD＝R， 则OE＝R－2，AE＝R＋(R－2)＝2R－2. 【点拨】 解本题的关键是找出Rt△ADE与Rt△ODE之间的关系．根据AD2－AE2＝DE2＝OD2－OE2这一关系，列方程求半径． 5 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AB⊥CD， AE＝2，BE＝6，CE＝4，求⊙O的半径． 技巧 4 作垂直于弦的线段(过圆心)构造直角三角形 【解】如图，作OF⊥AB于点F，作OG⊥CD于点G，连接OC，OB. ∵AB＝AE＋BE＝2＋6＝8， ∴BF＝AF＝AB＝4. ∴EF＝AF－AE＝4－2＝2. 易得四边形GEFO是矩形，∴OG＝EF＝2，OF＝EG. 【点拨】 解本题的关键是作辅助线构造直角三角形，根据勾股定理求解． 【解】如图，过点O作OH⊥BC于点H，则BC＝2BH. ∵DE⊥AB，OH⊥BC，∴∠DEO＝∠OHB＝90°. ∵BC∥OD，∴∠DOE＝∠OBH. 7 如图，直线l经过圆心O，交⊙O于A，B两点，弦CD所在直线交直线l于点P，PA＝2，PB＝14，∠DPB＝30°，求CD的长． 解法1：如图①，连接OA，OB，设⊙O的半径为r. ∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°. ∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42. 解得r1＝2，r2＝－2(不符合题意，舍去)． ∴⊙O的半径为2. 解法2：如图②，作直径AD，连接BD． ∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°. 又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°. ∴BD＝AB＝4. ∵在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2， ∴AD＝4.∴⊙O的半径为2. 【解】在Rt△OCE中，CE＝＝＝4. ∵AB⊥CD，AB为直径，∴CD＝2CE＝8. 3 [2023·岳阳]如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E.连接AC，交BD于点F，连接CD． (1)若∠A＝30°，AB＝6，则的长是______(结果保留π)； 如图，连接OC， ∵∠A＝30°，AB＝6， ∴∠BOC＝60°，OB＝3. ∴的长＝＝π. (2)若＝，则＝________． ∵点C为的中点，∴＝.∴OC⊥BD. 又∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC.∴EC∥BD. ∵＝，∴＝.设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x， ∴EC＝＝＝2x.∴＝＝. 4如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若AD＝4，BE＝2，求CD的长． ∵直径AB⊥弦CD于点E， ∴AD2－AE2＝DE2＝OD2－OE2. ∴(4)2－(2R－2)2＝R2－(R－2)2. ∴R2－R－20＝0.∴R1＝5，R2＝－4(舍去)． ∴OD＝5，OE＝3.∴DE＝＝4. ∵直径AB⊥弦CD于点E，∴CD＝2DE＝8. 设OF＝EG＝x，则CG＝4－x. ∵CG2＋OG2＝OC2＝OB2＝OF2＋BF2， ∴(4－x)2＋22＝x2＋42，解得x＝，即OF＝. ∴OB＝＝＝， 即⊙O的半径为. 6 [2023·厦门一中月考]如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E. 若DE＝3，⊙O的半径长为，求BC的长． 在△ODE和△BOH中， ∴△ODE≌△BOH(AAS)． ∴DE＝OH＝3. 在Rt△OBH中，BH＝＝＝2， ∴BC＝2BH＝2×2＝4. 【解】如图，作OE⊥CD于点E，连接OD. ∵PA＝2，PB＝14，∴AB＝12. ∴OA＝OB＝OD＝6.∴OP＝8. ∵∠DPB＝30°，∴OE＝OP＝×8＝4. ∴DE＝＝＝2. ∵OE⊥CD于点E，∴CD＝2DE＝4. $$