提练第2招求二次函数表达式的九种方法 习题课件 2023-2024学年湘教版数学九年级下册

第2招 求二次函数表达式的九种方法 例 典 例 剖 析 已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)，且过点P(2，0)，求这个二次函数的表达式． 【解题秘方】 结合已知条件设出顶点式，再将点P的坐标代入求解即可． 解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)， ∴可设这个二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－3. 又∵函数图象过点P(2，0)， ∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3. ∴这个二次函数的表达式为y＝3(x－1)2－3， 即y＝3x2－6x. 方法 1 利用一般式求二次函数表达式 分 类 训 练 1 [2023·上海徐汇中学模拟]在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(1，－5)和点B(－1，3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用含m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标． 【解】∵y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4， ∴该图象的顶点为(－2，4)，与y轴的交点为(0，0)． 将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，则函数图象向上平移了m个单位， ∴平移后顶点M的坐标为(－2，4＋m)． 2 已知抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n，直线l：y2＝kx＋b，抛物线C的对称轴与直线l交于点A(－1，5)，点A与抛物线C的顶点B的距离是4. (1)求抛物线C的表达式； 方法 2 利用顶点式求二次函数表达式 【解】∵抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n的对称轴与直线l： y2＝kx＋b交于点A(－1，5)，点A与抛物线C的顶点B的距离是4，∴B(－1，1)或(－1，9)． ∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9， 即抛物线C的表达式为y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8. (2)若y2随着x的增大而增大，且抛物线C与直线l都经过x轴上的同一点，求直线l的表达式． 3 [2023·牡丹江]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C． 方法 3 利用交点式求二次函数表达式 (1)求抛物线对应的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求△BCP的面积． 4 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3的图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是(1，0)． 方法 4 利用平移法求二次函数表达式 (1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围； 【解】把点B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3， 得0＝a＋4－3，解得a＝－1， ∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1. ∴A(2，1)，抛物线的对称轴为直线x＝2. 易知B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)． 根据图象可知，当y＞0时，1＜x＜3. (2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【解】易知点D的坐标为(0，－3)， 要使点D恰好落在点A的位置上，则抛物线就要先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，可得平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝－(x－4)2＋5. 5 [2023·南京外国语学校月考]已知一次函数y＝－2x＋c与二次函数y＝ax2＋bx－4的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴是直线x＝－1. (1)请求出一次函数和二次函数的表达式； 方法 5 利用对称轴求二次函数表达式 【解】∵一次函数y＝－2x＋c的图象经过点A(1，－1)， ∴将点A(1，－1)的坐标代入一次函数y＝－2x＋c， 得－1＝－2＋c，解得c＝1， ∴一次函数的表达式为y＝－2x＋1. (2)直接写出二次函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围：______________. x＜－5或x＞1 6 [2023·武汉]某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据 如表． 方法 6 利用表格信息求二次函数表达式 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)． 【点拨】 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． (1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； (2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125