10.1.1复数的概念（教学课件）高一数学人教B版必修第四册

10.1.1复数的概念 卡当生于1501年9月，他的数学贡献表现在他对算术和代数的研究，他在1545年出版了《大术》.该书系统给出代数学中的许多新概念和新方法；并著有《博奕论》一书，成为概率论的奠基者.在代数学上的一个重要贡献，是认真地引入了虚数，并接受虚数是方程式的根. 卡当 1873年，我国数学家华蘅芳将 “复数”引入中国.本节课我们就一起走进复数的学习！ 了解学习复数的必要性，掌握有关复数的概念、 复数的分类，初步掌握虚数单位的概念和性质. （重点） 2. 通过类比引入、分类讨论、化归与转化等数学思 想方法的使用，培养学生分析问题、解决问题的 能力.（难点） 探究点1：实数系的发展 记数的需要 产生了 自然数 1.为解决实际问题的需要 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要 产生了 负数 产生了分数 分配、测量中的等分 有理数 为了解决度量边长为1的正方形对角线长的问题 产生了 ——无理数(无限不循环小数). （1）方程在自然数集中 引入负数; 将自然数系扩充到整数系. 无解 (2)方程在整数集中 引入分数; 将整数系扩充到有理数系. 无解 (3)方程在有理数集中 无解 引入无理数; 将有理数系扩充到实数系. 2.解方程的需要 N Z Q 自然数 整数 有理数 数系的扩充 引入新数 扩充１ 扩充2 R 实数 扩充3 3.数系扩充后，新数系应遵循原数系的运算律. 扩充后的数集规定的加法运算、乘法运算，与原来数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 探究点2：复数的概念 思考1：观察下列三次方程的分解因式，你发现它们都有几个正根？ 因式分解： (1) x3=9x+28→x3-9x-28=0→(x-4)(x2+4x+7)=0； (2) x3=15x+4→x3-15x-4=0→x3-16x+x-4=4x(x2-16)+(x-4)=(x-4)(x2+4x+1)=0. 均有唯一的正根4. 人们早在16世纪就发现，可以通过求根公式 求解三次方程x3=px+q(p，q均为正实数)的正根 思考2：你能利用它直接计算，求解上述方程的正根吗？ (1)x3=9x+28；(2)x3=15x+4 （1） (2)由问题1，可知 成立 ，但是不能由公式直接计算得出. 思考3：如果规定 ，将 按照类似实数的运算法则进行形式计算，你能解释 吗？ 所以可以认为 类似地，可以认为 从而形式上有 一般地，为了使得方程有解，人们规定i的平方等于. 即，并称为虚数单位. 复数的概念 思考1：怎样表示2与i的和？又该怎样表示3减去i？5与i的乘积可以怎样表示？ 2+i；3-i；5i. 思考2：2+i，3-i，5i在形式上有什么共同特点？ 实数与i进行四则运算时，加法、乘法运算律仍然成立： (1)实数a与i的和记作a+i，实数0与i的和为i； (2)实数b与i的积记作bi. 注：实数0与i的积为0，实数1与i的积为i. 1.复数的代数形式： 其中i 称为虚数单位. 通常用小写字母z表示，即 实部 虚部 复数全体组成的集合叫复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此 C={ z| z=a+bi ，a，b∈R} 说出下列复数的实部与虚部. -1+2i ， 2-3i， 2022 ， i ， 0 . 思考？ 复数集C和实数集R之间有什么关系？ 思考？ 2.复数的分类： 分别求实数x的取值，使得复数z=(x-2)+(x+3)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数. (1)当x+3=0，即x=-3时，复数z是实数. (2)当x+3≠0，即x≠-3时，复数z是虚数. (3)当x-2=0，且x+3≠0，即x=2时，复数z是纯虚数. 例1 解析 2.复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 注： 2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 1） 分别求满足下列关系式的实数与的值 例2 （1）; （2） 解析 （1）根据复数相等的定义，得 （2）根据复数等于0得充要条件，得 解这个方程组，得 解这个方程组，得 D 跟踪训练 A 3.复数 ，当实数m=___ 时，z为纯虚数；当实数m= 时，z为零. -2 1 1.虚数单位i的引入. 2.复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 复数相等 虚数、纯虚数 1.若z1＝sin2θ＋i