第一章 空间向量与立体几何 单元复习题-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.已知,,,则下列向量是平面法向量的是( ) A. B. C. D. 2.已知空间向量两两夹角均为,其模均为1,则( ) A. B. C.2 D. 3.在空间直角坐标系中,已知点,若三点共线,则的值为( ) A. B. C.10 D.13 4.若直线l的方向向量为,平面 的法向量为,且,则m的值( ) A. B. C.4 D. 5.在正三棱锥中,AB,AC,AD两两垂直,E,F分别是AB,AD的中点,过E,F的平面与棱AC交于点G,且(V表示体积),则AC与平面EFG所成角的正切值等于( ) A. B. C. D. 6.已知长方体中,,,则平面与平面所成锐二面角的正切值为( ) A. B. C. D. 7.已知空间四边形中,,,,点在上,且,为中点,则等于( ) A. B. C. D. 8.已知直线AB的方向向量为,平面的法向量为,给出下列命题: ①若则直线. ②若,则直线. ③记直线AB与平面所成角的为,则. ④若,,则点C到平面的距离. 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 二、多选题 9.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,则下列向量的数量积可以为0的是( ) A. B. C. D. 10.三棱锥中,平面与平面的法向量分别为,若,则二面角的大小可能为( ) A. B. C. D. 11.在三棱柱中,D,E,F,H分别为,AB,,BC中点,G为 重心,则( ) A.DF∥平面ABC B.FG∥平面 C.FG,为异面直线 D.AF,GH为异面直线 三、填空题 12.已知向量,,若与夹角为,则k的值为 . 13.已知是平面的一个法向量,点,在平面内,则 . 14.已知MN是长方体外接球的一条直径,点P在长方体表面上运动,长方体的棱长分别为1、1、,则的取值范围为 . 四、解答题 15.如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,,点分别为的中点. (1)求证:; (2)若,求平面与平面夹角的正弦值. 16.宋元时期,泉州作为海洋商贸中心,成为世界第一大港.作为海上丝绸之路的起点,泉州的海外贸易极其频繁,但海上时常风浪巨大,使用原始船出行的风险也大.因此,当时的设计师为了海外贸易的正常进行,便在船只设计中才用了楔形零件结构,由此海上出行无需再惧怕船体崩溃,这也为海上贸易的发达作出了巨大贡献,而其智慧至今仍熠熠生辉.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCDMNPQ,将正方体的上底面平均分成九个小正方形,其中是中间的小正方形的顶点. (1)求楔形体的表面积; (2)求平面APQ与平面的夹角的余弦值. 17.如图,在直三棱柱中,,,. (1)证明:; (2)求二面角的余弦值. 18.如图,在正方体中. (1)求异面直线和所成角的大小; (2)求二面角的大小. 19.如图,在几何体中,平面平面,四边形为正方形,四边形为平行四边形,四边形为菱形,为棱的中点,点在棱上,平面. (1)证明平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值. 第1页 共4页 第2页 共4页 第1页 共4页 第2页 共4页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.B 【分析】求法向量使用待定系数法计算可得. 【详解】解:由题意,得,, 设为平面的法向量, 则,化简得,∴. 令x=1,有 故选:B. 2.B 【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果. 【详解】 . 故选:B 3.B 【分析】根据三点共线,可得空间向量共线,即存在实数,使得,结合向量的坐标运算,即可得答案. 【详解】因为,且三点共线, 所以存在实数,使得, 解得. 故选:B. 4.B 【分析】因为,所以有,由向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】若,则有, 即,解得. 故选:B 5.D 【分析】由条件将正三棱锥补形成正方体,由条件可得,从而得出点 的位置,建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可. 【详解】由条件将正三棱锥补形成正方体,如图 分别以为轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2 由,则 所以 即,则 所以,, , , 设平面的法向量为 则,即 ,取 设与平面成角,则 所以 所以 故选:D 6.A 【分析】以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求平面的法向量,利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系, 则 可得, 可知平面的法向量, 设平面的法向量,则, 令,则,可得, 设平面与平面ABCD所成的锐二面角为, 则, 可得, 所以平面与平面所成锐二面角的正切值. 故选:A. 7.D 【分析】根据空间向量的线性运算,用、和表示出即可. 【详解】解:因为点在上,且,所以, 所以 故选:D. 8.C 【分析】根据空间向量证明线面位置关系,空间向量法表示线