专题3-1平行四边形（5种模型与解题方法）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

专题3-1平行四边形（5种模型与解题方法） 题型一：中点四边形 题型二：正方形中的十字架模型 题型三：四边形中的对角互补模型 题型四：与正方形有关三垂线 题型五：正方形与45°角的基本图 题型一：中点四边形 “中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态： （原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形） （一）中点四边形一定是平行四边形 1. 当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形 2. 当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形 3. 当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形 （二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和 （三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一 一．选择题（共1小题） 1．（2023春•南京期中）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是菱形，需添加的条件是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共1小题） 2．（2023春•南川区期中）如图，已知矩形的对角线的长为，顺次连结各边中点、、、得四边形，则四边形的周长为 　　． 三．解答题（共6小题） 3．（2022春•香洲区期中）如图，点，，，分别是的边，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 4．（2022春•高安市期中）如图，四边形中，，，，，分别为，，，边的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 5．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形中，点、、、分别是、、、的中点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当对角线与满足什么关系时，四边形是菱形，并说明理由． 6．（2023春•西湖区期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）． （1）四边形的形状是 　　； （2）证明你的结论． （3）当、满足 　　时，四边形是菱形． （4）当、满足 　　时，四边形是矩形． （5）当、满足 　　时，四边形是正方形． 7．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． （1）这个中点四边形的形状是 　　； （2）如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明． 8．（2023春•惠阳区校级期中）如图，，，，分别是边，，，的中点． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）当，满足什么条件时，四边形是正方形．（不要求证明） 题型二：正方形中的十字架模型 一．选择题（共2小题） 1．（2023春•南昌县期中）如图，正方形内有两条相交线段，，，，，分别在边，，，上．小明认为：若，则；小亮认为：若，则．你认为　　 A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对 2．（2023秋•大东区期中）如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共2小题） 3．（2022春•三穗县校级期中）如图正方形的对角线相交于点，平分交于点，于点，交于点，连接、，下列四个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤， 其中正确的结论有 　　（填序号）． 4．（2022春•临洮县期中）如图，，分别是正方形的边、上的点．且，、相交于点，下列结论：①，②，③，④中，错误的有 　　．（只填序号） 三．解答题（共6小题） 5．（2023春•乌鲁木齐期中）如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，．求证：． 6．（2022春•石阡县期中）如图，点、是正方形中、边上的点，，求证：． 7．（2022春•石阡县期中）（1）如图①，已知正方形的对角线、相交于点，是上一点，过点作，垂足为，求证：； （2）如图②，若点在的延长线上，，交的延长线于．的延长线交的延长线于，其他条件不变，则结论“”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． 8．（2022春•海淀区校级期中）在正方形中，是边上一动点（不与点、重合），是的中点， 过点作，分别交、于点，． （1）判定线段与的数量关系，并证明； （2）连接交于点． ①根据题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结论 　　． 9．（2022春•孝南区期中）如图1，为正方形的边上一动点与、不重合），点在边上，且，连接、交于点． （1）求证：； （2）当运动到中点处时（如图，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交、于点、