第六章 平面向量 全章复习 讲义二-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量全章复习---平面向量的基本定理及坐标表示 知识点一、平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 典例1、如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1. 典例2、如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论. 典例3、如图，在平行四边形OADB中，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点， 且，试用、表示与． 随堂练习：1、在中，，点Q为的中点，交于点N. （1）证明：点N为的中点； （2）若，求. 2、如图，中，AD为三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值． 3、在中，，，与交于点M，设， （1）用，表示； （2）若在线段上取点E，在线段上取点F，使过M点，设，， 求的最小值. 典例4、在平行四边形中，，，分别为边，，的中点，，，三点共线. 若，则实数的值为______. 典例5、如图，四边形ABCD中，已知. （1）用，表示；（2）若，，当三点共线时，求实数的值. 随堂练习：4、如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设． （1）试用基底，表示； （2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线． 5、如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若，． （1）试以，为基底表示，；（2）求证：A，G，C三点共线． 6、如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设，将用，，表示；(2)设，，证明：是定值． 知识点二、平面向量的坐标运算 1、向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. 2、向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 3、平面向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 注意：1、若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错； 2、要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息． 3、若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0. 典例1、已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ） A． B． C．(3，2) D．(1，3) 典例2、如图，将两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若，则___________. 随堂练习：1、在平面直角坐标系中，的三个顶点是A(3，2)，，，D是BC的中点，求的坐标． 2、已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标． 3、设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)． （1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标． 典例3、平面内给定三个向量 (1)若求实数k； (2)设满足且求. 典例4、如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线. 典例5、如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标． 随堂练习：4、如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标；（2）求证：四边形为等腰梯形． 5、如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为中点. 求证：（1）；（2）D，M，B三点共线. 6、 已知向量，，.（1）若点，，不能构成三角形，求，满足的关系；（2）若且为钝角，求的取值范围. 7、已知向量为坐标原点.若三点共线， 求的最小值. 8