专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 用勾股定理构造图形解决问题 题型四 用勾股定理解三角形 题型五 勾股定理与折叠问题 题型六 求最短路径问题 题型七 勾股定理的逆定理求解 题型八 勾股定理逆定理的实际应用 题型九 勾股定理中的新定义问题 题型十 勾股定理的综合问题 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图①所示的赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成，利用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)请你利用图①的赵爽弦图，推导勾股定理； (2)如图②，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图③，在中，是边上的高，，设，求的长度． 3．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是a，，斜边长为c．                (1)探究：用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①小正方形的边长为c，大正方形的边长为____________________________________； ②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式________________________，整理得__________________，从而验证勾股定理； (2)应用：将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 4．（2023·辽宁阜新·二模）动手实践、归纳和猜想是我们发现数学结论的重要一环，你也来试试吧！ (1)如图，两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，得到我们学习过的一个重要公式， 请你写出来：面积等式为____________，结论为____________； (2)边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． 当时，如图，______； 当______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______（用含的代数式表示）． 5．（23-24八年级上·福建宁德·期末）验证勾股定理： 课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？ (1)小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，） 解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积_______， 方法2：四边形的面积_______， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______． 化简可得：． (2)请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 6．（23-24八年级上·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 7．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． (1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求