2024届高考数学必备基础知识整理

必备知识清单 一.集合与常用逻辑术语 1.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 2.集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∊A，都有x∊B，则A⊆B或B⊇A. (2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A⫋B或B⫌A. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 4.集合的有关性质 (1)任何一个集合A是它本身的子集，记为A⊆A. (2)空集是任何集合的子集，记为⌀⊆A. (3)空集是任何非空集合的真子集. (4)A∩B＝A⟺A∪B＝B⟺A⊆B(在讨论的时候不要遗漏了A＝⌀的情况). (5)A∪B元素的个数：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B). (6)含n个元素的集合的子集个数为2n，非空子集个数为2n－1，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为 2n－2. 5.充分条件与必要条件(p，q表示两个命题) 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⟺q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 6.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示. 7.全称量词命题与存在量词命题(命题p的否定记为¬p，读作“非p”) 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 ∀x∊M，p(x) ∃x0∊M，p(x0) 否定 ∃x0∊M，¬p(x0) ∀x∊M，¬p(x) 二.不等式 1.不等式的性质 性质1(对称性)：a>b⟺b<a； 性质2(传递性)：a>b，b>a⇒a>c； 性质3： ①可加性：a>b⇒a＋c>b＋c； ②同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质4： ①可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； ②同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd>0； 性质5(同正可乘方性)：a>b>0⇒an>bn>0，其中n∊N*，且n⩾2； 性质6(同正可开方性)：a>b>0⇒>>0，其中n∊N*，且n⩾2. 2.一元二次不等式 不等式(x－x1)(x－x2)>0(x1<x2)的解集为(x2，＋∞)∪(－∞，x1)； 不等式(x－x1)(x－x2)<0(x1<x2)的解集为(x1，x2). 3.分式不等式 >0(或<0)⟺f(x)g(x)>0(或<0) ⩾0(或⩽0)⟺f(x)g(x)⩾0(或⩽0)，且g(x)≠0. 4.绝对值不等式 |f(x)|<A⟺－A<f(x)<A，其中A>0； |f(x)|>A⟺f(x)>A或f(x)<－A，其中A>0. ||a|－|b||⩽|a＋b|⩽|a|＋|b|，当且仅当a，b异号时，第一个等号成立，当且仅当a，b同号时，第二个等号成立. ||a|－|b||⩽|a－b|⩽|a|＋|b|，当且仅当a，b同号时，第一个等号成立，当且仅当a，b异号时，第二个等号成立. 5.基本不等式 (1)若a>0，b>0，则a＋b⩾2，当且仅当a＝b取等；在运用基本不等式时，需要注意“一正二定三相等”； (2)若a，b∊R，则ab≤()2≤，当且仅当a＝b取等. (3)重要不等式：若a，b∊R，则a2＋b2⩾2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 若a，b∊R，则a2＋b2⩾－2ab，当且仅当a＝－b时，等号成立. 三.平面向量 1.向量的有关概念：零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量 2.向量的线性运算：加法(平行四边形法则、三角形法则)、减法(三角形法则)、数乘 3.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是b＝λa(λ∊R). 4.向量的夹角与数量积 (1)已知两个非零向量a和b，作 ＝a， ＝b，则∠AOB即为a和b的夹角. 注意：求向量夹角时要统一起点；向量夹角的范围是[0，π]，同向时夹角为0，反向时夹角为π. (2)向量a和b的数量积记为a·b，其定义为a·b＝|a| |b| cosθ，其中θ为a和b的夹角. 注意： ①规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. ②|a|cosθ叫做a在b上的投影，|b| cosθ叫做b在a上的投影. 向量的投影是一个实数. 投影的计算公式：a在b上的投影＝|a|cosθ＝. 投影向量的计算公式：a在