备战2024年中考数学一轮复习 课件 图形的性质专题：21 命题与证明

图形的性质专题：21命题与证明——赢在中考·备战2024中考数学一轮复习【考点分层突破★★★】 1 一．命题与定理 二．推理与论证 三．反证法 四．轨迹 2 一．命题与定理 3 1.如图，正方形ABCD中，EF≠AB，点P、Q、R、S分别是AB，BC，CD，DA上的点，有以下四个命题： ①若SQ∥EF，则SQ=EF； ②若SQ=EF，则SQ∥EF； ③若PR⊥EF，则PR=EF； ④若PR=EF，则PR⊥EF．其中真命题有( ____ ) A.①② B.③④ C.①③ D.①②③④ C 4 【解析】解：①若SQ∥EF，则SQ=EF，是真命题． 理由：如图1中， __ ∵四边形ABCD是正方形， ∴SE∥QF， ∵SQ∥EF， ∴四边形EFQS是平行四边形， 5 ∴SQ=EF． ②若SQ=EF，则SQ∥EF，是假命题． 理由：如图1中，S′Q′=EF，但是四边形EFQ′S′是等腰梯形，EF与S′Q′不平行． ③若PR⊥EF，则PR=EF，是真命题． 理由：如图2中，过点R作RM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N． __ 6 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C=90°，BC=CD， ∵RM⊥AB， ∴∠RMB=90°， ∴四边形BCRM是矩形， ∴RM=BC， 同法可证EN=CD， ∴RM=EN， ∵EF⊥PR，∠B=90°， ∴∠RPM+∠EFB=180°， ∵∠EFB+∠EFN=180°， 7 ∴∠RPM=∠EFN， 在△RMP和△ENF中， ， ∴△RMP≌△ENF(AAS)， ∴RP=EF． ④若PR=EF，则PR⊥EF，是假命题． 理由：如图2中，R′P′=EF，显然R′P′与EF不垂直． 故选：C． 8 2.命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ____ 命题．(填“真”或“假”) 【解析】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等． ∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题， 故答案为：真． 真 9 3.命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 ____ 命题(填“真”或“假”) 【解析】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题； 故答案为：假． 假 10 4.定理“平行四边形的对角相等”的逆命题是 _____________________________________________ ． 【解析】解：定理“平行四边形的对角相等”的逆命题是“两组对角分别相等的四边形为平行四边形”． 故答案为：两组对角分别相等的四边形为平行四边形． 两组对角分别相等的四边形为平行四边形 11 5.我们知道命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是我们所学习的一个定理． (1)请写出该命题的逆命题： __________________________________________________________________________________ ； (2)请判断该命题的真假性，并给出相应的证明． 【解析】解：(1)该命题的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形； 故答案为如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形 12 (2)这个逆命题为真命题． 证明如下：因为三角形一边上的中线等于这边的一半，即三角形三个顶点到这边的中点的距离相等，所以三角形一边为三角形外接圆的直径，根据圆周角定理得这个三角形为直角三角形． 13 6.如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2=180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE． (1)判定EM与FN之间的关系，并证明你的结论； (2)由(1)的结论我们可以得到一个命题： 如果两条直线 _____ ，那么内错角的角平分线互相 _____ ． (3)由此可以探究并得到： 如果两条直线 _____ ，那么同旁内角的角平分线互相 _____ ． 【解析】解：(1)EM∥FN． 平行 平行 平行 垂直 14 证明：∵∠1+∠2=180°，∠EFD+∠2=180°， ∴∠1=∠EFD， ∴AB∥CD， ∴∠BEF=∠CFE． ∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE， ∴∠3=∠4， ∴EM∥FN． (2)由(1)可知EM∥FN， ∴可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行． 故答案为：平行；平行． 15 (3)由“两直线平行，同旁内角互补”可得出： 如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直． 故答案为：平行；垂直． 16 7.把下列命题改写成“如果…那么…”的形式． (1)两直线平行，同位角相等； (2)在同一个三角形中，等角对等边； (3)同角的补角相等； (4)两个无理数的积仍是无理数． 【