7.5正态分布导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学导学案 新授课 1课时 7.5 正态分布 【课标要求】 1.利用实际问题的直方图,了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+ 2σ],[μ-3σ,μ+ 3σ]的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题. —————————课前案—————————— 【知识梳理】 知识点1　正态曲线 函数f(x)= ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称　　　　　　(如图所示). 过关自诊1 1.判断正误. (1)函数f(x)= (x∈R)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.(　　) (2)正态密度函数f(x)的值可正可负,但不能为0.(　　) (3)正态密度函数的图象与x轴之间区域的面积是变化的.(　　) 2.下列函数是正态分布密度函数的是(　　) 知识点2　正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为　　　　　　.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从　　　　　　　. 如图所示,X取值不超过x的区域P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) 符合正态分布的随机变量X的取值在区间[a,b]上的概率等于正态曲线与直线x=a,x=b以及x轴所围成的封闭图形的面积.(　　) 2.参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么? 知识点3　正态曲线的特点 1.曲线位于x轴　　　　,与x轴　　　　　.  2.曲线是单峰的,它关于直线　　　　对称.  3.曲线在　　　　处达到峰值　　　　　 4.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. 5.曲线与x轴之间的面积为　　　　.  6.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿　　　　平移,如图①. 7.当μ一定时,曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,曲线“　　　　”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“　　　　”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②.  过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.(　　) (2)正态曲线可以关于y轴对称.(　　) (3)正态曲线的“胖瘦”由σ决定.(　　) 2.(多选题)已知三个正态密度函数φi(x)= (x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.σ1=σ2 B.μ1>μ3 C.μ1=μ2 D.σ2<σ3 知识点4　正态总体在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则 1.三个特殊区间内取值的概率若X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 2.3σ原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则. 过关自诊 设X~N(1,22),试求: (1)P(-1≤X≤3); (2)P(3≤X≤5); (3)P(X≥5). —————————课中案—————————— 探究点一：正态曲线的应用 【例1】一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差. 变式训练1 若一个正态分布密度函数是偶函数,且该函数的最大值为 ,则该正态分布密度函数的解析式为　　　　　　　　　　　.  探究点二：正态分布下的概率计算 【例2】 (1)(2022安徽亳州期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),若P(ξ≤4)=0.78,则P(2<ξ<3)=(　　) A.0.2 B.0.24 C.0.28 D.0.32 (2)设X~N(5,1),求P(6≤X≤7). 变式训练2 (1)若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)=　　　　　.  (2)若在一次数学考试中,某班学生的分数为X,且X~N(110,202),满分为150分,这个