第七讲 行程问题（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版

创新 第七讲 行程问题 知识导航 行程问题是小学奥数中难度系数比较高的一个模块,在小升初考试和各大奥数杯赛中都能见到行程问题的身影。行程问题中包括:火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等。每一类问题都有自己的特点,解决方法也有所不同,但是,行程问题无论怎么变化,都离不开“三个量,三个关系”: 这三个量是:路程(s)、速度(v)、时间(t) 三个关系:1.简单行程:路程=速度 时间 2.相遇问题:路程和=速度和 时间 3.追击问题:路程差=速度差 时间 牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系,就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。 【典型例题1】“中点相遇” 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇,东、西两地相距多少千米? 【思路导航】: 从图中可以看出,两车相遇时,甲车比乙车多行了32 2=64(千米)。两车同时出发,为什么甲车会比乙车多行64千米呢?因为甲车每小时比乙车多行56-48=8(千米)。64里包含8个8,所以此时两车各行了8小时,东、西两地的路程只要用(56+48) 8就能得出。 32 2 (56-48)=8(小时) (56+48) 8=832(千米) 小试身手 1.小玲每分钟行100米,小平每分钟行80米,两人同时从学校和少年宫出发,相向而行,并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米? 2.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出,汽车每小时行40千米,摩托车每小时行65千米,当摩托车行到两地中点处时,与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少千米? 【典型例题2】“途中停车” 一辆汽车从甲地开往乙地,要行360千米。开始按计划以每小时45千米的速度行驶,途中因汽车故障修车2小时。因为要按时到达乙地,修好车后必须每小时多行30千米。汽车是在离甲地多远处修车的? 【思路导航】途中修车用了2小时,汽车就少行45 2=90千米;修车后,为了按时到达乙地,每小时必须多行30千米。90千米里面包含有3个30千米,也就是说,再行3小时就能把修车少行的90千米行完。因此,修车后再行(45+30) 3=225千米就能到达乙地,汽车是在离甲地360-225=135千米处修车的。 小试身手 1.一辆汽车从甲地开往乙地,若每小时行36千米,8小时能到达。这辆汽车以每小时36千米的速度行驶一段时间后,因排队加油用去了15分钟。为了能在8小时内到达乙地,加油后每小时必须多行7.2千米。加油站离乙地多少千米? 2.汽车以每小时30千米的速度从甲地出发,6小时后能到达乙地。汽车出发1小时后原路返回甲地取东西,然后立即从甲地出发。为了能在原来时间内到达乙地,汽车必须以每小时多少千米的速度驶向乙地? 【典型例题3】“环形行程” 甲骑车、乙跑步,二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。出发后10分钟,甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟700米,求甲、乙二人的速度各是多少? 【思路导航】出发10分钟后,甲从乙身后追上了乙,也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。因此,甲每分钟比乙多行4000 10=400米。知道了二人的速度差是每分钟400米,速度和是每分钟700米,就能算出甲骑车的速度是(700+400) 2=550米,乙跑步的速度是700-550=150米。 小试身手 1.在300米长的环形跑道上,甲、乙二人同时同地同向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4.4米。两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米? 2.环湖一周共400米,甲、乙二人同时从同一地点同方向出发,甲过10分钟第一次从乙身后追上乙。若二人同时从同一地点反向而行,只要2分钟二人就相遇。求甲、乙的速度。 【精典例题4】“往返联络” 甲乙两学生从相距18千米的两地同时相向而行。一同学骑自行车以每小时14千米的速度在两队间不停往返联络。甲学生每小时行5千米,乙学生速度是每小时4千米,问甲乙相遇时,骑自行车同学共行多少千米? 【思路导航】要求骑自行车的同学一共行多少千米,就要知道他的速度和所行时间。骑自行车同学的速度是每小时14千米,而他所行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。因此,用18 (4+5)=2小时,用这个时间和骑的同学的速度相乘就得到了他一共行的千米数。 小试身手 1.东、西两村相距36千米,甲、乙二人同时从东西两村相向出发,3小时后,丙骑车从东村出发去追甲,结果三人同时在某地相遇。已知甲每小时行4千米,乙每小时行5千米,求丙的速度。 2.两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发,一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信。如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米,而甲队同学比乙队同学每小时多走4千米,求两队同学的行走速