湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期第一次大练习数学试题

湖南师大附中2023—2024学年度高二第二学期第一次大练习 数学 命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40．分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知，则（ ） A. B. C. －2 D. 2 3. 样本数据24，15，33，29，23，17，19，25，32，35的分位数是（ ） A. 24 B. 19 C. 29 D. 32 4. 在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（ ） A. 有且仅有1条 B. 有且仅有2条 C. 有且仅有3条 D. 有无数条 5. 甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（ ） A. 72种 B. 36种 C. 144种 D. 108种 6. 平面直角坐标系中，等边的边长为，M为BC中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ） A. 为部分圆 B. 为部分线段 C. 为部分抛物线 D. 为部分椭圆 7. 三棱锥P-ABC中，是边长为3的正三角形，，．则三棱锥P-ABC的体积最大为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设，的内切圆半径为，，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 C. 函数的对称轴为 D. ，，使得且 10. 已知椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B．点P为椭圆上的动点，若，则（ ） A. a，b，c成等比数列 B. 椭圆的离心率 C. 以为圆心，为半径的圆与椭圆有3个交点 D. 的外接圆半径的最小值为 11. 已知函数与函数定义域均为R，且是的导数，若是偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为______． 13. 已知，，则______． 14. 若非空集合G关于运算•满足：（1）对任意的a，，都有，（2）对任意的a，b，，都有，（3）存在，对，都有，则称G关于运算•构成“幺半群”．现给出下列集合和运算： ① G为正自然数集，•为整数的加法． ② G为奇数集，•为整数的乘法． ③ G为素数集，•为整数的乘法． ④ G为平面向量集，•为平面向量数量积． ⑤ G为所有二次三项式的集合，•为多项式加法． ⑥ G为纯虚数集，•为复数的乘法． 其中G关于运算•构成“幺半群"的是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 所有棱长均为3的三棱柱中，平面平面，D，E分别在棱，上，满足，，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知函数在区间上的最小值为－2． （1）求a； （2）（ⅰ）若过点存在2条直线与曲线相切，求m的值； （ⅱ）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切?（只需写出结论） 18. 已知点是焦点为F的抛物线C：上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，设直线PA的斜率为． （1）证明：直线AB的斜率为定值，并求出此定值； （2）令焦点F到直线AB的距离为d，求的最大值． 19. 4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为． （1）甲留学生随机抽取题，记总得分为，求分布列与数学期望； （2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和； （ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式． 湖南师大附中2023—2024学年度高二第