7.3.1离散型随机变量的均值导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学导学案新授课 1课时 7.3.1　离散型随机变量的均值 【课标要求】 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念和性质,能计算简单离散型随机变量的均值. 2.掌握两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值,解决一些相关的实际问题. —————————课前案—————————— 知识点1　离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示, X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)=　　　　　　　　　　=　　　　　为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.  过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化.(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同.(　　) 2.已知X的分布列为 则X的均值为(　　) A.0 B.-1 C. D. 知识点2　两点分布的均值 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=_________________　　　　　　=　　　　.  过关自诊 1.已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=0)=0.7,则E(X)=　　　　　.  2.已知离散型随机变量X的取值为-1和1,且P(X=1)=p,则该随机变量服从两点分布吗?该随机变量的均值是多少? 知识点3　离散型随机变量均值的性质 一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=　　　　　.  过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(5X)=10.(　　) (2)对于结论E(aX+b)=aE(X)+b,当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.(　　) 2.已知随机变量X的分布列如下，则E(X)=　　　　　,E(2X-1)=　　　　　. —————————课中案—————————— 探究点一：求离散型随机变量的均值 【例1】 袋中有4个红球,3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值. 变式训练1 盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值. 探究点二：离散型随机变量的均值的性质 【例2】 已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m 若Y=-2X,则E(Y)=　　　　　. 变式探究 本例条件不变,若ξ=aX+3,且E(ξ)=- ,求a的值. 变式训练2 已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,则m的值为(　　) ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 探究点三：均值的简单应用 【例3】 (2022河南郑州月考)有9张相同的卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机抽取3张. (1)求抽取的3张卡片上的数字中任意2个均不在下表的同一行,且不在同一列的概率; (2)若抽取的3张卡片上的3个数字均为奇数或均为偶数记为情况①;若3个数字位于下表的同一行或同一列或同一对角线上记为情况②.当同时满足①②两种情况得3分;仅满足情况①得2分;仅满足情况②得1分;其他情况得0分.求得分的分布列及均值. 变式训练3 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 【课堂小结】 —————————课后案—————————— 1.设随机变量X的分布列如表,且E(X)=1.6,则a-b等于(　　) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 2.已知0<a< ,随机变量ξ的分布列为 ξ -1 0 1 P a b 则当a增大时,E(ξ)的变化情况是(　　) A.E(ξ)增大 B.E(ξ)减小 C.E(ξ)先增大后减小 D.E(ξ)先减小后增大 3.(2022陕西宝鸡二模)已知随机变量X,Y