期中专项复习06平面向量夹角问题-2023-2024学年高一数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019必修第二册）

06平面向量夹角问题 一、必备知识 1.向量的模 （1）向量的 叫向量的模. 向量的模为 . （2）若，则向量的模. 2.向量的夹角 （1）已知两个非零向量，为平面上任意一点，作，则 叫做与的夹角.其取值范围为 . （2）当非零向量同向时，它们的夹角为 ；当非零向量反向时，它们的夹角为 ； 如果非零向量的夹角为 ，则说与垂直，即为. （3）设是两个非零向量，它们的夹角为，则. 自检自纠： 1.（1）大小， （2） 2.（1）， （2）0，， （3） 二、题组： 典型例题： 例1．（1）若，且，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． （2）设非零向量，满足，，则向量的夹角等于（    ） A． B． C． D． （3）已知非零向量,,满足,,,.则向量与的夹角（ ） A．45° B．60° C．135° D．150° （4）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．（1）若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（    ） A． B． C． D． （2）已知平面单位向量满足，设，，向量的夹角为，则的最小值是 . 例3．（1）已知向量，设与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． （2）已知向量，则（    ） A． B． C． D． （3）已知,若,则（    ） A． B． C． D． （4）若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（       ） A． B． C． D． （5）已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为 . 变式训练： 1．已知向量，且 ，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．若单位向量，的夹角为，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知均为单位向量，且满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则向量，的夹角为（　　） A． B． C． D． 8．已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 . 11．已知，且的夹角为钝角，则实数的范围 12.在中，若，则－定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 13．中,设,若,则的形状是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 达标检测： 1．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 4．角的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 5．若，是夹角为60°的两个单位向量，则向量与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 6．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知非零向量 满足，且，则的夹角为（    ） A．45° B．135° C．60° D．120° 8．已知向量，则与的夹角的大小为 . 9．已知向量，且 与的夹角为，则 . 10．已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则满足条件的一个的坐标为 . 11．平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则 . 12．若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 13．向量，若夹角为钝角，则实数的范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06平面向量夹角问题 一、必备知识 1.向量的模 （1）向量的 叫向量的模. 向量的模为 . （2）若，则向量的模. 2.向量的夹角 （1）已知两个非零向量，为平面上任意一点，作，则 叫做与的夹角.其取值范围为 . （2）当非零向量同向时，它们的夹角为 ；当非零向量反向时，它们的夹角