期中专项复习02向量的加减运算与数乘运算-2023-2024学年高一数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019必修第二册）

02向量的加减运算与数乘运算 一、必备知识 1．向量求和的法则： (1)三角形法则：已知非零向量，，在平面内任取一点A，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作 ，即 . (2)平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，，以为邻边作，则以为起点的向量 (是的对角线)就是向量与的 . 2. 向量的减法：求两个向量差的运算－＝＋(－)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 . 3.向量的数乘运算：实数与向量的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 . 4. 平面向量的坐标表示： （1）在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，对平面中的任一向量，有，我们把有序数对 叫做向量的坐标表示，其中叫做向量在轴上的坐标，叫做向量在轴上的坐标，记为. （2）若为坐标原点，，则向量的坐标就是 的坐标. 5.平面向量加减与数乘的坐标表示： （1）若，则. （2）已知，则；. （3）已知，则. 自检自纠： 1．(1) (2) 和 2.相反向量 3.向量 4.（1） ， （2）终点A 5.（1）（2）,（3）（4） 二、题组： 典型例题： 例1．（1）（多选）下列四个式子中一定能化简为的是（    ） A． B． C． D． （2）已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（    ） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 例2．（1）化简： . （2）若，则 ． （3）若向量，，则 . 例3．（1）（多选）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（    ） A． B． C． D． （2）在中，，若点满足，则（    ） A． B． C． D． （3）在中，，则（    ） A． B． C． D． （4）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． （5）已知是的重心，若，则（    ） A．1 B． C． D． （6）在 中,点满足与交于点,若,则（    ） A． B． C． D． 例4．（1）已知，则 ． （2）已知向量，满足，，则 . （3）已知向量，．若，则的值为 ； 例5．（1）已知,,点在线段的延长线上,且,则点的坐标为 . （2）已知向量，，，则以向量与为基底表示向量的结果是（ ） A． B． C． D． （3）已知点,若点在线段上,且,则点的坐标为 . 变式训练： 1．下列各式中，化简后不是零向量的是（    ） A． B． C． D． 2．已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．计算： ． 4．化简： ． 5．已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 7．如图所示,在中,点是线段上靠近的三等分点,点是线段的中点,则（    ） A． B． C． D． 8．在梯形中，是中点，，设，则（    ） A． B． C． D． 9．在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，，则 ． 11．已知向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 12．已知向量，，，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．已知点，向量，则向量( ) A． B． C． D． 14．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 16．（多选）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 达标检测： 1．（多选）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 2．等于（　　） A． B． C． D． 3．化简： . 4.在中，点为边的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 5．已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ） A． B． C．