17.2 勾股定理的逆定理 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册

17.2 勾股定理的逆定理 复习导入 问题一：我们已经学习过一种判定直角三角形的方法，还记得是什么吗？ 问题二：勾股定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c， 那么a2+b2=c2. 它是真命题吗？ 逆命题：如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角 形是直角三角形。 新知探究 1 勾股定理的应用 【例1】（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？” 意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池 的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？ A B C B' 1 5 分析：根据题意，先画出水池截面示意图，如右图.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B'. 解：如图，设水池深x尺， 则AC=x尺，AB=AB'=（x+1）尺. 因为正方形池塘边长为10尺，所以B'C=5尺. A B C B' 1 5 在Rt△ACB'中，根据勾股定理，得 x2+52=(x+1)2， 解得 x=12. 则芦苇长为13尺. 答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺. 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 归纳小结 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 解决 我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.”那么，这个定理的逆命题成立吗？ 思考 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？ A B C a b c 如果我们能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形. 新知探究 1 知识点一： 勾股定理的逆定理 如图，作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b. A' B' C' a b A B C a b c 在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理得，A'B' 2=a2+b2， ∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2，∴A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵BC=B'C'=a，AC=A'C'=b，AB=A'B'=c， ∴△ABC≌△A'B'C'. ∴∠C=∠C'=90°. ∴△ABC是直角三角形. 如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 结论 先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略. 据说，古埃及人找一根长绳， 先在长绳上打等距离的13个结， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 据说，古埃及人找一根长绳， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，构成一个三角形，这个三角形其中一个角便是直角。 先在长绳上打等距离的13个结， 据说，古埃及人找一根长绳， 如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理： a c b A B C 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答下列问题: 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 练一练 实验结果： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形. 利用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的一般步骤： （1）先比较三边a，b，c的大小，找到最长边； （2）计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等.若相等，是直角三角形，并且最长边对应的角是直角；若不相等，则不是直角三角形. 知识点二： 勾股定理的逆定理的应用 【例2】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三