上海市虹口区2024届高三下学期期中学生学习能力诊断测试（二模）数学试卷

虹口区2023学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试 高三数学 试卷 2024. 4 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的 相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．若 则cos2 x = _______. 2．已知一个球的表面积为36 ，则该球的体积为_______. 3．过抛物线焦点的弦AB的中点横坐标为2，则弦AB的长度为_________. 4．已知集合 5．已知随机变量X～B(50，p)，且E [X ] ＝20，则D [X ] = _______. 6． 3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为________. 7．已知一个三角形的三边长分别为2,3,4, 则这个三角形外接圆的直径为________. 8. 已知等比数列是严格减数列，其前项和为若成等差数列，则=_________. 9．已知平面向量满足若平面向量满足则的最大值为_________. 10．从某个角度观察篮球（如图1）可以得到 图1 图2 一个对称的平面图形（如图2），篮球的外 轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐 标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 的交点将圆的周长8等分，且 则该双曲线的离心率为_________.（第10题图） 11．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形， 且若AB=AA1= 2, 点M为棱CC1的中点，点P 在A1B上，则线段P A，PM的长度和的最小值为________. 12．已知关于的不等式对任 意均成立，则实数的取值范围为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．欧拉公式把自然对数的底数,虚数单位i，三角函数和联系在一起,被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则 （ ） A. B. C. D. 14．设，将函数的图像沿x轴向右平移个单位，得到函数的图像，则 （ ） A. 函数y =是偶函数 B. 函数y =的图像关于直线对称 C. 函数y =在上是严格增函数 D. 函数y =在上的值域为 15．给出下列4个命题： ① 若事件A和事件B互斥，则 ② 数据2,3,6,7，8, 10,11,13的第70百分位数为10 ； ③ 已知y关于x的回归方程为，则样本点的离差为； ④ 随机变量X的分布为则其数学期望1.6. 其中正确命题的序号为 （ ） A．① ② B．① ③ C．② ③ D．② ④ 16.已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题： ①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有. 则下列判断正确的是 （ ） A. ① ②都是假命题 B. ① ②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设数列前项和为且，若，求正整数的最小值． 18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在三棱柱中，为 的中点， （1）求证：平面； （2）若平面点P在棱上，且 平面, 求直线CP与平面所成角的正弦值． 19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100