8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3 简单几何体的表面积和体积 第八章 立体几何初步 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 一 二 三 学习目标 通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法 会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积和体积 能用公式解决简单的实际问题 学习目标 新课导入 在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题. 用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关． 包装盒所占空间的大小跟围几何体的体积密切相关. 前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小． 新知探究 问题1 在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的样子吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 追问 展开图面积与其表面积有什么关系？ 化归思想 新知探究 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． 棱台 也就是说求多面体的表面积关键在于知道展开图是怎么样的！ 棱柱 棱锥 例1 如图示，四面体P-ABC各棱长均为a，求它的表面积. 解：∵∆ABC是正三角形，其边长为a. 因此，四面体P-ABC的表面积为 A C B S 典例解析 【跟踪训练】已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积． E =4 = ==84 新知探究 问题2 还记得初中学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？ 追问 对于一般的棱柱（棱锥、棱台）的体积又如何求解呢？ V正方体=a3 或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高) (a正方体的棱长) V长方体=abc (a,b,c分别为长方体长、宽、高) 问题3 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变， 观察改变前后的体积是否发生变化？ 新知探究 新知探究 一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h.那么这个棱柱的体积: 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. 重要的是找高 V棱柱=Sh         新知探究 问题4 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积与棱锥的体积有什么关系呢？ 【结论】棱锥的体积等于同底等高的棱柱体积的。 一般地，如果棱锥的底面积是S，高是h，那么该棱锥的体积: 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 新知探究 问题5 棱台的体积又应该是怎样的呢？ O O’ (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高) 问题6 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 几何体 棱柱 棱台 棱锥 直 观 图 体 积 新知探究 上底面扩大到与下底面全等 上底面缩小为一个点 S′=S S′=0 例2 如右图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米? A' B' C' D' A B C D P 解： 如图示，由题意知 ∴这个漏斗的容积为 典例解析 巩固练习 课本P116 1. 正六棱台的上下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,求它的表面积. 解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm. 因此，正六棱台的表面积为 A D B C F E A' D' B' C' F' E' 2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. (1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ 解： (1) 共有64个棱长为1cm的小立方体. (2) 三面是红色的小立方体有8个, 表面积之和是48cm2. 巩固练习 课本P116 2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色