精品解析：江苏省金湖中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性考试数学试题

金湖中学高一第二学期阶段性考试 一、选择题 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ） A B. C. D. 10. 下列选项中其值等于的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题 12. 设、是不共线两个向量，若与共线，则实数______. 13. 若，则实数取值范围是_______. 14. 我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知，分别为向量，的“@未来坐标”，若向量，的“@未来坐标”分别为，，则向量，的夹角的余弦值为______. 四、解答题 15. 已知向量 （1）向量夹角的余弦值； （2）若向量与垂直，求实数k的值； （3）若向量，且与向量平行，求实数k的值. 16. 已知向量，，函数 （1）若，且，求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若，求的值 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，在单位圆上，，且，． （1）若，求的值； （2）若，也是单位圆上的点，且．过点、分别做轴的垂线，垂足为、，记的面积为，的面积为．设，求函数的最大值． 18. 将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径OA（图1），或让矩形一边与弦AB平行（图2），对于图1和图2，均记． （1）对于图1，请写出矩形面积关于的函数解析式； （2）对于图2，请写出矩形面积关于函数解析式；（提示：） （3）试求出的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？ 19. 以为钝角的中，. （1）若，且，，求 （2）若，当角最大时，求的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金湖中学高一第二学期阶段性考试 一、选择题 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果. 【详解】根据二倍角的余弦公式可得： . 故选：D 2. 若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标. 【详解】设，故，而， 故，故，故， 故选：A. 3. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，然后结合角范围可得． 【详解】由已知， ，∴． 故选：C． 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式及模长公式直接求解. 【详解】由，得， 又， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 5. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，且，所以， 即. 故选：D 6. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. 故选：A 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决. 【详解】由，即， 可得，由正切的倍角公式可得． 故选：D． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，进而求得，再由求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：C 二、多选题 9. 四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点