专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题-2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题 【考点预测】 一、证明不等式常用的方法和思路 作差构造函数，转化为最值问题 二、不等式恒成立问题常用的方法和思路 (1)直接法 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 三、零点问题常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典型例题】 例1．（2024·高三·全国·专题练习）证明：当时，； 例2．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，证明：对一切，都有成立. 例3．（2024·高三·全国·专题练习）求证： (1)（）； (2)； (3)（）． 例4．（2024·山东烟台·一模）已如曲线在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若恒成立，求的取值范围. 例5．（2024·吉林白山·二模）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 例6．（2024·高二·山西大同·期末）已知函数在时取得极值． (1)求实数的值； (2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 例7．（2024·高二·重庆永川·阶段练习）已知函数. (1)讨论的最值； (2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围. 例8．（2024·高三·四川·对口高考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数． (1)求a，b的值； (2)证明：函数有唯一零点． 例9．（2024·高三·山东·阶段练习）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)证明：函数在上有且仅有一个零点． 例10．（2024·高三·江苏·阶段练习）已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 【过关测试】 1．（2024·高二·福建莆田·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明：. 2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：. 3．（2024·高二·全国·课时练习）证明：. 4．（2024·高二·北京·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 5．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期中）已知函数. (1)若在处的切线过原点，求切线的方程； (2)令，求证：. 6．（2024·浙江杭州·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：对任意的，． 7．（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知函数在和处取得极值. (1)求的值及的单调区间； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 8．（2024·高三·北京通州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．（2024·高三·江苏常州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 10．（2024·高三·全国·专题练习）已知，求证：恒成立. 11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，求证：当时，. 12．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为． (1)求，的值与函数的单调区间； (2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围． 13．（2024·高二·福建龙岩·阶段练习）设函数． (1)求的增区间； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围． 14．（2024·高二·广东梅州·期中）已知函数. (1)求的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 15．（2024·高三·全国·专题练习）求函数f(x)＝x－4ln x－2的零点个数. 16．（2024·高三·河南·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，研究函数在上的单调性和零点个数． 17．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数.证明：函数在上有且只有一个零点. 18．（2024·高三·北京大兴·阶段练习）已知， (1)求的极值； (2)若函数存在两个零点，求的取值范围. 19．（2024·高三·天津滨海新·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间、最值． (3)设在上有两个零点，求的范围. 20．（2024·高三·西藏林芝·阶段练习）已知函数 (1)当时，求的函数值； (2)若有三个零点，求的取值范围. 21．（2024·高二·山东青岛·期末）已知函数在处有极值． (1)求的极值； (2)若在区间上有三个零点，求实数b的取值范围． 22．（2024·高二·浙江丽水·期末）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 原创精