7.3.1 离散型随机变量的均值-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第三册)

人教A版2019选修第三册 第 七 章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值； 2.理解离散型随机变量均值的性质，掌握两点分布的均值； 3.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题． 教学目标 01情境导入 PART.01 情境导入 某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？ 18元/千克 24元/千克 36元/千克 方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克. 方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为 元/千克. 方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为 元/千克 思考：哪种方案更合理？ 离散随机变量的均值 PART.02 问题提出 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时, 直接使用分布列并不方便 . 例如, 要比较不同班级某次考试成绩, 通常会比较平均成绩; 要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此, 类似于研究一组数据的均值和方差, 我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差 , 它们统称为随机变量的数字特征. 概念讲解 问题：甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 思考：如何比较他们射箭水平的高低呢? 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为 概念讲解 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于 7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9 概念讲解 均值或数学期望 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 则称 定义 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn E(X)为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 例题剖析 例1.在蓝球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？ 解：因为 所以 即该运动员罚球1次的得分的均值是. 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 例题剖析 例2.抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值. 解：的分布列为 因此， 例题剖析 练习：北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求： （1）甲、乙两人至多一人测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列和数学期望. 例题剖析 解:（1）根据题意，甲测试合格的概率为 <m></m> ， 乙测试合格的概率为 <m></m> ， 故甲、乙两人都测试合格的概率为 <m></m> ， 则甲、乙两人至多一人测试合格的概率为 <m></m> ． （2）由题可知，甲答对的试题数 <m></m> 的所有可能取值为0， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 例题剖析 <m></m> ， <m></m> ， 故 <m></m> 的分布列为 <m></m> 0 1 2 3 <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 则 <m></m> 的数学期望 <m></m> ． 求离散型随机变量ξ的均值的步骤 （1）根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值； （2）求出 ξ的每个值的概率； （3）写出ξ的分布列； （4）利用定义求出均值. 其中第（1）（2）两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重应用概率的相关知识． 反思感悟 归纳总结 离散型