专题01 平面向量（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题01平面向量 【考点01 ：向量的有关概念】 【考点02：向量的线性运算】 【考点03：投影向量】 【考点04：共线/平行向量定理】 【考点05：垂直向量】 【考点06：数量积的运算】 【考点07：正弦定理和余弦定理综合应用】 【考点08：平面向量的应用】 知识点1 ：向量的有关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点2：向量的线性运算 知识点3：共线向量定理/垂直向量的充要条件 ①向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 或设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. ②两个向量垂直的充要条件 当，≠时，⊥·＝0 知识点3：向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点4：平面向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 2.数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 常用结论 1． 中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 2．＝λ＋μ(λ,μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1. 3．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线 4．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． 知识点5 ：正、余弦定理及变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 知识点6：三角形常用面积公式 1、S＝a·ha(ha表示边a上的高)； 2、S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； 3、S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 知识点7：解三角形中的常用结论 1、三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. 2、三角形中的三角函数关系 （1）sin(A＋B)＝sin C； （2）cos(A＋B)＝－cos C； （3）sin ＝cos ； （4）cos ＝sin . 3、三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 4、三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 考点01：平面向量的概念 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点02：向量的线性运算 2．在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（    ）    A． B． C． D．