第01讲 二次函数抛物线中等腰三角形和直角三角形的存在性问题-冲刺2024年中考数学二轮复习重难点专题突破（全国通用）

第1讲 二次函数抛物线中等腰三角形和直角三角形的存在性问题 第一部分 方法与技巧 1．等腰三角形的存在性问题 （1）找点：轨迹为两圆一线 （2）求点：根据线段相等，分三种情况讨论进行求解． 几何法：解三角形去进行求解； 解析法：根据两点间距离公式或者勾股定理去进行求解． （3）定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在轴、轴或坐标轴上，也需要注意三点要能构成三角形，三点不共线． 2．直角三角形的存在性问题 （1）找点：轨迹为两线一圆 （2）求点：根据直角，分三种情况讨论进行求解． 几何法：在题目中有特殊的角度，解直角三角形去进行求解； 解析法：根据斜率之积互为负倒数或者勾股定理去进行求解． （3）定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在x轴、y轴或坐标轴上． 3．等腰直角三角形的存在性问题 等腰直角三角形的存在性问题： 1．找点：轨迹为两个正方形的顶点和中心 2．求点：根据线段和角度，分三种情况讨论进行求解． （1）几何法：构造弦图和中点坐标公式； （2）解析法：利用斜率和两点间距离公式进行计算． 3．定点：注意题目中的条件或问题是在线段、射线或直线上，还是在x轴、y轴或坐标轴上，也需要注意三点要能构成三角形，三点不共线． 第二部分 典例与变式 类型一 由等腰三角形产生的存在性问题 【典例1】（2024•化德县模拟）如图，抛物线y＝ax2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2024•榆阳区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线C1的顶点． （1）求抛物线C1的函数表达式和点D的坐标； （2）将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为E，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得以点A、C、E为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由． 类型二 由直角三角形产生的存在性问题 【典例2】（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E． （1）求直线AD及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【变式训练】 1．（2024•荆州模拟）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024春•泰兴市月考）已知：二次函数y＝x2+bx+c的顶点P在直线y＝﹣4x上，并且图象经过点A（﹣1，0）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）D是线段BP上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，E点的坐标为（a，0），△DCE的面积为S． ①求△DCE的面积S的最大值； ②在BP上是否存在点D，使△DCE为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2024•随州模拟）如图，抛物线与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，其顶点D的坐标为（1，﹣4），P为抛物线上x轴下方一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若∠PCB＝∠ACB，求点P的坐标； （3）若直线yx+a与抛物线交于M，N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON＝90°，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 类型三 由等腰直角三角形产生的存在性问题 【典例3】（2024•东兴区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； （3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第三部分 专题提优训练 1．（2024•东明县一模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点B（1，0）