1.1直角三角形的性质和判定Ⅰ第2课时 含30°角的直角三角形的性质 习题课件 2023-2024学年湘教版数学八年级下册

1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第2课时 含30°角的直角三角的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个定理将特殊的直角三角形中的角度关系转化为直角三角形中边的数量关系.在一般情况下，遇到30°角常作垂线，构造含30°角的直角三角形来解决相关的线段问题. 名师点金 知识点1　含30°角的直角三角形的性质 1.(母题：教材P6练习T2)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， ∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是(　C　) A.BD＝BC B.BD＝BC C.BD＝BC D.BD＝BC C 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB 交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是(　D　) A.∠CAD＝30° B.AD＝BD C.BD＝2CD D.CD＝ED D 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC 绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上. (1)若AC＝4，求DE的长度； 【解】在△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8. 又△DEC是由△ABC旋转得到的， ∴DE＝AB＝8. (2)确定△ACD的形状，并说明理由. 【解】△ACD为等边三角形.理由如下： 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°. 由旋转的性质，得DC＝AC， ∴△ACD为等边三角形. 知识点2　含30°角的直角三角形的性质的应用 4.(一题多解)[2022·永州]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝ 90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为(　D　) A. B.2 C.2 D.4 C 【点拨】 ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4.∵∠C＝60°，∴∠A＝90°－60°＝30°，∴BC＝AC＝2.故选C. 5.(母题：教材P6练习T1)如图是某商场一楼与二楼之间的手 扶电梯示意图.其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　D　) A. m B.4 m C.4 m D.8 m (第5题) B 【点拨】 如图，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，则CM＝h，∠CMB＝90°.∵∠ABC＝150°，∴∠CBM＝30°，∴h＝CM＝BC＝×8＝4(m).故选B. 6.[2023·贵州]5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在 贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是(　B　) A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m (第6题) B 7.(母题：教材P8习题T6)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点 E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足为点D.若EC＝3 cm，则AE的长为 　6 cm　⁠. 6 cm　 【点拨】 ∵DE垂直平分边AB，∴AE＝BE.∴∠2＝∠A.∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠1＝∠2.∵∠C＝90°，∴∠A＝∠1＝∠2＝30°.∵EC＝3 cm，∴BE＝6 cm.∴AE＝BE＝6 cm. 易错点　在运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 斜边的一半”这一性质解题时没有分类讨论而致错 8.在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一 半，则∠BAC等于(　B　) A.90° B.90°或75° C.90°或15° D.90°或75°或15° D 【点拨】 如图，分三种情况： ①如图(a)，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部， ∴∠BAC＝∠C.由题意知AD＝BC＝AB， ∴∠B＝30°，∴∠BAC＝(180°－∠B)＝75°. ②如图(b)，AC＝BC，AD⊥BC交BC的延长线于点D，AD在三角形的外部，∴∠CAB＝∠B.由题意知AD＝BC＝AC，∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB. ∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝∠ACD＝15°. ③如图(c)，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形底边，由等腰三角形的底边上的高与底边上的中线、顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点.由题意知AD＝BC＝CD＝BD，∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BAC＝90°. 综上，∠BAC的度数为90°或75°或15°. 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长 9.如图，△ABC为等边三角形，