专题04 复数（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

苏教版（2019) 必修第二册期中考点大串讲 串讲04 复数 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 知识点1.复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 是复数z的实部， 是复数z的虚部，i为虚数单位. (2)复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 实数(b 0)， 虚数(b 0)(当a 0时为纯虚数). a b ＝ ≠ ＝ (3)复数相等： a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R). (4)共轭复数： a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔ (a，b，c，d∈R). (5)复数的模： 向量 的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R). a＝c且b＝d |a＋bi| a＝c，b＝－d |z| 知识点2.复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ； (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 2.－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R). 3.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N). 4.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N). 5.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆. C N b＝0 b≠0 a＝0 a≠0 复平面 实轴 虚轴 Z(a，b) 02 典例剖析 考点1.复数的概念 例1(多选) 已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是 √ √ 设复数z＝a＋bi(a，b∈R). 因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限， 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. 考点2.复数的四则运算 √ (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算. (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数. 【例3】在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为 √ 考点3. 复数的几何意义 ∵z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i， 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 考点4.复数的分类 考点5. 复数相等的充要条件 考点6. 复数与复平面内点的关系 考点7. 复数的几何意义 考点8.复数的模 考点9 复数的加减法运算 考点10. 复数加减法的几何意义 考点11. 复数加减法的几何意义的应用 40 考点12.复数代数形式的乘法运算 考点13.复数代数形式的除法运算 46 03 考场练兵 1.已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则 A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3 C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3 √ (b＋i)i＝－1＋bi，则由a＋3i＝－1＋bi，得a＝－1，b＝3，故选B. 2.复数z＝ (i为虚数单位)的虚部是 A.－1 B.1 C.－i D.i 所以复数z的虚部为－1. √ 49 3.若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则 等于 A.－2＋i B.－2－i C.2＋i D.2－i √ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 5.已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚