专题04 数列（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019 选择性必修第三册）

人教B版(2019) 选择性必修第三册 期中考点大串讲 串讲04 第五章 数列 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 知识点1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照　　　　　　　排列的一列数  数列的项 数列中的　　　　　　  数列的 通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和 并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不一定是唯一的 确定的顺序 每一个数 微点拨1.从函数观点看,数列{an}可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值. 2.对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的. 微思考数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区别与联系? 提示 数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且排列在y=3x+5的图象上. 知识点2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项 公式 把数列的通项用公式表示 递推 公式 使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示数列的方法 给出了数列相邻两项或多项之间的关系 数列的图象是坐标系中的一些孤立的点 知识点3.an与Sn的关系 误区警示1.切记公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,根据Sn求an时一定要注意检验a1的值是否适合an=Sn-Sn-1. 2.类比an与Sn的关系,若设数列{an}前n项的积为Tn(Tn≠0),则有 S1 Sn-Sn-1 知识点4.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列 an+1>an n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 微思考数列的单调性与对应函数的单调性相同吗? 提示 不同.数列作为特殊的函数,也具有单调性,但其单调性与对应函数的单调性又有所不同,由于数列中项数n只能取正整数,所以当函数f(x)在[1,+∞)上单调时,数列{f(n)}也是单调数列,但当数列{f(n)}是单调数列时,函数f(x)不一定是单调函数,例如函数f(x)=(x- )2在[1,+∞)上不单调,但数列{an}(an=f(n))是递增数列. 常用结论 知识点4.等差数列的有关概念 定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于 　　　　　　　,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的　　　　,通常用字母d表示.定义表达式为　　　　　　　　　　　  等差 中项 若三个数a,A,b组成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有2A=　　　　  同一个常数 公差 an+1-an=d(n∈N*,d为常数) a+b 微点拨1.在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,即{an}成等差数列⇔an+1+an-1=2an (n∈N*,n≥2). 2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的. 证明一个数列是等差数列的“等差中项法” 知识点5.等差数列的有关公式 公差d的几何意义是点(1,a1),…,(n,an)所在直线的斜率 微思考1.在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗? 2.等差数列前n项和公式是如何推导的?这种方法通常称为什么方法? 提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中, an=kn+b(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数. 知识点6.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+　　　　(m,n∈N*).  (2)若{an}是等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq. 　但若am+an=ap+aq,却不一定有m+n=p+q 特别地,当m+n=2p时,am+an=2ap. ap为am和an的等差中项 (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 　　　　的等差数列.  在等差数列中下标成等差的 项组成的新数列仍为等差数列 (n-