10.1.2 复数的几何意义（3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

10.1.2 复数的几何意义 课程标准 学习目标 （1）理解复数的几何意义； （2）掌握实轴、虚轴、模等概念，以及用向量的模来表示复数的模的方法； （3）理解共轭复数的含义及性质. （1）理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； （2）掌握实轴、虚轴、模等概念； （3）掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 知识点01 复数的几何意义 1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面。 2、实轴与虚轴：在复平面内，轴上的点对应的都是实数，因此轴称为实轴；轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称轴为虚轴。 3、复数的几何意义——与点对应：每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集C中一一对应的数与复平面内的点是一一对应的，即复数，这是复数的一种几何意义。 4、复数的几何意义——与向量对应：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系：实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是，表示的是实数． 【即学即练1】（22-23高一下·广东东莞·期中）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点02 共轭复数 1、共轭复数的定义：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数； 2、共轭复数的代数表示：复数的共轭复数用表示，因此，当时，有. 3、互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数. 特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上。 【即学即练2】（22-23高一下·河北石家庄·期中）若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 知识点03 复数的模 1、模的定义与表示：一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值）.复数的模用表示，因此。当时，. 2、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义. （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部. 【即学即练3】（23-24高二上·安徽·月考）已知是虚数单位，，则（    ） A． B． C．2 D． 【题型一：复数与复平面的点一一对应】 例1．（23-24高一下·福建宁德·月考）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1-1．（23-24高一下·湖南·月考）已知是虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1-2．（22-23高二上·福建永宁·月考）若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（    ） A． B． C． D．或 变式1-3．（22-23高一下·湖北黄冈·期中）在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-4．（22-23高一下·宁夏银川·期末）已知复数：，. （1）若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求的值. （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的范围. 【方法技巧与总结】 利用复数与点的对应关系解题的步骤： （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据. （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 【题型二：复数与平面向量一一对应】 例2．（22-23高一下·新疆喀什·月考）如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（22-23高一下·贵州黔西·月考）在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为 ． 变式2-2．（22-23高一下·河北张家口·月考）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点分别为，将向量绕着点（为复平面内的原点）逆时针旋转得到向量，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（22-23高一下·浙江·期中）复数与复数在复平面上对应点分别是A，B，则 ． 变式2-4．（2023·山东青岛·二模）已知为坐标原点，复数，，分别表示向