专题13 函数与方程 -2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题13 函数与方程 【考点预测】 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【方法技巧与总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 【典例例题】 例1．（2024·高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知符号函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（    ） A． B．的零点为3 C．在上为增函数 D．的定义域为 例5．（2024·四川成都·二模）已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例6．（2024·高三·全国·竞赛）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例7．（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·高三·全国·专题练习）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 例9．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ． 例10．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝则使得方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取值范围是 ． 例11．（2024·辽宁·二模）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为 ． 例12．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为 . 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高三·重庆·开学考试）函数的零点有（    ） A．4个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（2024·高三·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高三·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2024·高三·浙江宁波·期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·河南焦作·期末）设分别是方程，，的实根，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·高三·全国·专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（   ）（参考数据：.） A．1 B．2 C．0 D． 11．（2024·高三·河南·阶段练习）已知为偶函数，