专题05 平行四边形六大模型-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题05 平行四边形六大模型 模型一：中点四边形 模型二：梯子模型 模型三：十字架 模型四：对角互补 模型五：半角模型 模型六：与正方形有关三垂线 模型一：中点四边形 中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。 结论 1: 点 M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形 MNPQ 是平行四边形 结论 2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 结论 4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式1-1】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（　　） A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等 【变式1-2】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD 【变式1-3】（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 模型二：梯子模型 如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图 2),就是所谓的梯子模型。 [考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。 模型一: 如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接 OP、BP、OB,则当 O、P、B三点共线时,此时线段 OB最大值。 即已知 RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中 OB的最值 模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点 A、B分别在边 OM、ON上,当点A在边 OM上运动时,点 B随之在 ON上运动，且运动的过程中矩形 ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接 OP、PD、OD,则当 O、P、D三点共线时,此时线段 OD 取最大值 【典例2】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　　． 【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是 　　． 【变式2-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是 　　． 模型三：十字架 第一种情况：过顶点 在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA） 所以AE=BF 第二种情况：不过顶点 在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH 也可以如下证明 在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH 【典例3】（2023春•商南县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接AG，求证： （1）CE⊥DF． （2）∠AGE＝∠CDF． 【变式3-1】（2023•黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P． （1）求证：△ABN≌△DAM； （2）求∠APM的大小． 【变式3-2】（2023秋•惠阳区校级月考）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG． （1）请判断BE与DG的