专题8.1 立体几何-尺子法速证平行-2023-2024学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题8.1 立体几何-尺子法速证平行 我们证明线平行于面的时候，有时候不能快速去得出是用平行四边形还是中位线去证明线性平行。 1.尺子法:用尺子将要证明平行于另外一个面的线段，平移到平面内得到另外一条线段。如果两条线段长相等，则用平行四边形法则证明。如果一个线段为另一个线段的一半，则用中位线法则证明。 用直尺比划将PB平移至平面AEC内可知，OE即为目标线，OE 明显与PB长度不同，可知要运用中位线，非平行四边形。(尺子法) 2.A字形法则:也是和刚刚一样的，将要证明的线段平移到目标平面内，如果得到一个A字形，就是用中位线法则证明。 两个模型： 中位线模型: 连接第三边，找另一中点，构造中位线。D,E为中点(相同二等分点)→BC//D 平行四边形模型: 欲证AB//CD，先证ADBC 【典例1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE． 【典例2】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为D1D，D1C，AB的中点．（1）求证：D1B∥平面EAC； （2）求证：FG∥平面ADD1A1． 【典例3】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，D是AB的中点． （1）求证：AC1∥平面CDB1； （2）求异面直线AC1与B1C所成的角． 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠CDA＝60°，AB＝2AD＝2CD＝8，P为棱SA上的一点，且AP＝2PS＝4． （1）证明：SC∥平面DPB； （2）求四棱锥S﹣ABCD的体积． 2．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，E为SD的中点． （1）证明：SB∥平面ACE； （2）若SA⊥平面ABCD，证明：SC⊥BD． 3．如图，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA'＝4，点M、N分别为A'B和B'C'的中点． （1）求异面直线CN与AB所成角的余弦值； （2）证明：MN∥平面A'ACC'． 4．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是AC的中点． （1）证明：AB1∥平面MBC1． （2）若△ABC是正三角形，AB＝2，BM＝MC1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积． 5．P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证： （1）AE∥平面PCF； （2）平面PCF∥平面AEG． 6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为CC1的中点． （1）求证：BD1∥平面MAC； （2）求证：平面NBD1∥平面MAC． 7．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证： （1）B1C1∥平面A1EF； （2）平面A1EF∥平面BCGH． 8．如图所求，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点． （1）求证：PC∥平面BFD； （2）已知M点在PD上满足EC∥平面BFM，求的值． 9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．求证：PE∥平面BFG； 10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC交BD于点O，E是PD上一点且PB∥平面ACE （1）证明：E为PD的中点； （2）在线段PA上是否存在点F，使得平面OEF∥平面PBC，若存在，请给出点F的位置，并证明，若不存在，请说明理由． 11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证： （1）EG∥平面BDD1B1； （2）平面EFG∥平面BDD1B1． 12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证： （1）PD∥平面ANC； （2）M是PC中点． 13．如图所示，底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2，AC与BD相交于点O，E为PD中点． （1）求证：EO∥平面PBC； （2）PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3． （1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积； （2）求证：AB1∥平面BC1D． 15．如图，在三棱柱BCF﹣ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点． （1）求证：GH∥BF； （2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明