计算空间中的角、距离之向量法讲义-2024届高三数学一轮复习

空间向量及其应用 【知识梳理】 1.空间向量的坐标表示 （1）空间直角坐标系：轴方向、轴方向、轴方向两两垂直 （2）空间点的坐标： 横坐标（轴上的截距）、纵坐标（轴上的截距）、竖坐标（轴上的截距） （3）空间向量的坐标表示： 若，，则. 2.空间向量的坐标运算 已知空间向量，，且，的夹角为，实数. （1）加减法运算：； （2）实数与向量的乘法：； （3）向量的模运算：； （4）向量的数量积：； （5）向量的夹角： 3.充要条件： ； 4.平面的法向量： 平面的一个法向量： 5.异面直线所成的角： 已知两条直线的方向向量分别为：，异面直线所成的角为，则 6.直线与平面所成的角： 已知直线的方向向量和平面的法向量分别为：，，直线与平面所成角为，则 7.点到平面的距离 已知平面的法向量为，则 8.二面角： 已知两个半平面的法向量分别为：，锐二平面角为，则 1.如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且． （1）求异面直线与的夹角； （2）求直线与平面所成的角； （3）求二面角的平面角的余弦值； （4）求点到平面的距离． 2.如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. （1）求证：； （2）求点到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【配套练习】 1.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且平面，棱，为棱的中点，. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 2. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，分别为棱中点. （1）求证：平面平面； （2）若平面平面，直线与平面所成的角为，且,求二面角的大小. 3.如图所示，在矩形中，,，是的中点，为的中点，以为折痕将向上折起，使点到点，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量及其应用 【知识梳理】 1.空间向量的坐标表示 （1）空间直角坐标系：轴方向、轴方向、轴方向两两垂直 （2）空间点的坐标： 横坐标（轴上的截距）、纵坐标（轴上的截距）、竖坐标（轴上的截距） （3）空间向量的坐标表示： 若，，则. 2.空间向量的坐标运算 已知空间向量，，且，的夹角为，实数. （1）加减法运算：； （2）实数与向量的乘法：； （3）向量的模运算：； （4）向量的数量积：； （5）向量的夹角： 3.充要条件： ； 4.平面的法向量： 平面的一个法向量： 5.异面直线所成的角： 已知两条直线的方向向量分别为：，异面直线所成的角为，则 6.直线与平面所成的角： 已知直线的方向向量和平面的法向量分别为：，，直线与平面所成角为，则 7.点到平面的距离 已知平面的法向量为，则 8.二面角： 已知两个半平面的法向量分别为：，锐二平面角为，则 1.如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且． （1）求异面直线与的夹角； （2）求直线与平面所成的角； （3）求二面角的平面角的余弦值； （4）求点到平面的距离． 【答案】 1.； 2.； 3.； 4. 建立如图所示的空间直角坐标系，（1），,，, , ，设异面直线与的夹角为，则；（2） ，设平面的一个法向量为，由， 得：，不妨设，得，设直线与平面所成的角为 ，则；（3）用同样的方法可求得平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，；（4）， 2.如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. （1）求证：； （2）求点到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）由点在底面上的投影为的中点，知平面，又面，故.因是以为斜边的等腰直角三角形，故.而、面，，故面，由于面，得 （2）由，为的中点，侧面为菱形，知. 由是以为斜边的等腰三角形，，可得，.由（1）知直线两两垂直，故以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系：则相关点的坐标为：， ，，，. 设平面的一个法向量为，则，不妨取，得. 又，故点到平面的距离为. （3）假设满足条件的点存在，并设，（），则.由直线与侧面所成角的正弦值为，可得，解得.又，故.因此存在满足条件的点，且. 【配套练习】 1.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且平面，棱，为棱的中点，. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：，，，.又平面，，，平面，直线平面. （2）以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系：则相关点的坐标为：，，，，.则，，，设平面的法向量，，设直线与平面所成角大小