专题17空间点、直线、平面之间的位置关系（4知识点+5题型） -2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题17：空间点、直线、平面之间的位置关系 （4知识点+5题型） 空间点、直线、平面之间的位置关系 常考题型 空间中直线与直线之间的位置关系 点、线、面的位置关系的表示 平面基本公理及其推论 平面的基本概念及表示方法 题型一：空间点、线、面关系符号的正确使用 题型二：点、线、面关系的基本概念 题型三：空间中点共线和线共点证明 题型四：空间中点共面和线共面证明 题型五：异面直线所成角 知识点一：平面的基本概念及表示方法 （1）平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的，不计重量的抽象的概念 （2）平面的特点：①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是无限延展而没有边界的；④平面是由空间点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分. （3）平面的画法： ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线. （4）平面的表示方法： ①一个希腊字母：如，，等； ②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； ③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点. （5）点与直线（平面）、直线与平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， ②直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 知识点二：平面基本公理及其推论 公理1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 文字语言 过不共线的三点，有且只有一个平面 图形 语言 符号语言 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 作用 确定平面 证明点共面 公理2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 文字语言 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 图形 语言 符号语言 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 作用 判断点在平面内 判断直线在平面内 用直线检验平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图形语言 符号语言 P∈α∩β⇒α∩β＝l且P∈l 作用 （1） 判定平面相交 （2） 证明点共线 （3） 证明线共点 （2）三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点三：点、线、面的位置关系的表示 （1）点与线、面的位置关系的表示 A是点，l，是直线，α，是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α （2）直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 （3）两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 知识点四：空间中直线与直线之间的位置关系（异面直线重点） （1）异面直线 ①概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． ②异面直线的画法：如图（1）（2）所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． （2）空间两条直线的位置关系 ①相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． ②平行直线——同一平面内，没有公共点． ③异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． （3）两条异面直线所成的角（夹角） ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． 题型一：空间点、线、面关系符号的正确使用 解题思路：①点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”， ②直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． 例1．若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 例2．如图所示，用符号语言可表述为（　　） A．，， B． C． D． 例3．用符号语言表示下列语句，正确的个数是（    ） （1）点A在平面内，但不在平面内：，． （2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，． （3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，