6.3.2二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3　二项式定理 6.3.2　二项式系数的性质 二项式定理： 即(a+b)n的展开式 (1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____. (2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项. (3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________ a降幂(n→0),b升幂(0→n) 复习回顾 (4)各项的二项式系数：(k=0,1,2,…,n) 问题导入 的展开式的二项式系数有很多有趣的性质，而且我们可以从不同的角度进行研究. 的展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 问题1：用计算工具计算的展开式的二项式系数，并填入表. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 4 6 1 1 5 5 10 10 1 1 6 6 15 15 20 新知探索 从上表中可以发现，每一行中的系数具有对称性.除此之外还有什么规律呢？为了便于发现规律，上表还可以写出如图所示的形式. 观察上图，你还能发现哪些规律？ 新知探索 n (a+b)n展开式的二项式系数 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 ①每行的两端都是1. ②递推性：除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和. ③对称性：与首末两端等距的两个二项式系数相等. ④增减性：先增后减，在中间项取得最大值. 杨辉三角(二项式系数表) 新知探索 对于的展开式的二项式系数，，，，，我们还可以从函数的角度分析它们.可看成以为自变量的函数，其定义域是. 对于确定的，我们还可以画出它的图象.例如，当时，函数的图象是7个离散点， 如图所示. 7个孤立的点 O r f ( r ) 6 3 6 14 20 新知探索 新知探索 f（r） n为奇数； 如n=7 20 10 30 35 O n 7 4 3 f（r） r n O 6 15 20 1 n为偶数；如n=6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 新知探索 新知探索 二项式系数先增后减，关于k=对称. 二项式系数在中间项取得最大值. 第8项为中间项 共15项 14 8 4和5 11 6 二项式系数的增减性与最值 新知探索 含二项式系数的和 只与n有关,与a,b无关. [例1] 设(1-2x)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 022·x2 022 (x∈R). (1)求a0+a1+a2+…+a2 022的值; 解:(1)令x=1,得 a0+a1+a2+…+a2 022=(-1)2 022=1.① (2)求a1+a3+a5+…+a2 021的值; (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 022|的值. (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可. (2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. (3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), [针对训练] 已知(x2-2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+ a20(x-1)20. (1)求a2的值; (2)求a1+a3+a5+…+a19的值; 解:(2)令t=1,得a0+a1+a2+…+a20=310, 令t=-1,得a0-a1+a2-…+a20=310, 所以a1+a3+a5+…+a19=0. (3)求a0+a2+a4+…+a20的值. 解:(3)由(2)得a0+a2+a4+…+a20=310. (1)求n的值及展开式中的常数项; (2)求展开式中系数最大的项是第几项. (1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况进行判断,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得. 练习 练.已知二项式 (1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数； 解：(1)由题意，得，∴∴或 ①当时，展开式中二项式系数最大的项是和，的系数为，的系数为. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，. ②当时，展开式