第34讲 空间几何体外接球、内切球、棱切球、截面问题、轨迹问题-2024年新高考数学二轮复习专题突破精练（新高考地区专用）

第34讲 空间几何体外接球、内切球、棱切球、截面问题、轨迹问题 【典型例题】 例1．（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（    ）    A．对于任意点，平面 B．直线被球截得的弦长为 C．过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为 例3．（2024·河南信阳·模拟预测）把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 例4．（2024·四川绵阳·三模）如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且．则下列结论不正确的是（    ） A．若保持．则点的运动轨迹长度为 B．保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 C．沿正方体的表面从点到点的最短路程为 D．当在点时，三棱锥的外接球表面积为 例5．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例6．（2024·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 例7．（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 例8．（2024·山东临沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 .    例9．（2024·陕西西安·三模）如图，已知球的半径为，在球的表面上，，连接球心与，沿半径旋转使得点旋转到球面上的点处，若此时，且球心到所在截面圆的距离为，则球的表面积为 ．    【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·二模）如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知正四面体的棱长为，则该四面体的外接球与以点为球心，为半径的球面的交线的周长为（     ） A． B． C． D． 5．（2024·广东·模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D