广东省深圳外国语学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

深圳外国语学校2023—2024学年度高二第一学期期末考试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的． 1. 已知等比数列中，，则公比（ ） A. 2 B. -2 C. D. 2. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知等差数列的前项和为且，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 4. 与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到平面的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3 6. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（ ） A. 999 B. 749 C. 499 D. 249 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 方程，则下列说法正确的是（ ） A 当时，方程表示椭圆 B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C 当时，方程表示圆 D. 当或时，方程表示双曲线 10. 已知数列的前项和为，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则成等比数列 B. 若为等差数列，则为等比数列 C. 若，则数列为等差数列 D. 若，则数列为等比数列 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 焦点到准线的距离是4 C. 若点P的坐标为，则的最小值为5 D. 若Q为线段MN中点，则Q的坐标可以是 12. 如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱上靠近G点的三等分点，则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 B. 保持与垂直时，M的运动轨迹是线段 C. 若保持，则点M在侧面内运动路径长度为 D. 当M在D点时，三棱锥的体积取到最大值 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上． 13. 已知向量，若∥，则______. 14. 曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为_____________． 15. 已知抛物线，直线与相交于两点，若的准线上一点满足，则的坐标为__________. 16. 已知点为正四面体的外接球上的任意一点，正四面体的棱长为2，则的取值范围为___________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知直线和圆 （1）求证：直线过定点，并求这个定点 （2）若直线截圆所得的弦长为，求直线的方程 18. 已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足. （1）求和的通项公式： （2）若，求数列的前项和为. 19. 如图所示，四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形， （1）求证： （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 20. 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． （1）求双曲线C的方程． （2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 21. 设数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数． 22. 已知椭圆的离心率为，过椭圆的一个焦点作垂直于轴的直线与椭圆交于两点，. （1）求椭圆方程； （2）过椭圆外一点任作一条直线与椭圆交于不同两点，在线段上取一点，满足，证明：点必在某条定直线上. 深圳外国语学校2023—20