第33讲 立体几何综合问题-2024年新高考数学二轮复习专题突破精练（新高考地区专用）

第33讲 立体几何综合问题 【典型例题】 例1．（2024·河南南阳·一模）如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面.    (1)证明平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 例2．（2024·高三·河南·期末）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点 (1)①若，，求； ②证明. (2)记的面积为 ，证明：. (3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍. 例3．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面平面，，为平面的重心，为平面的重心． (1)棱可能垂直于平面吗？若不可能，说明理由； (2)求与夹角正弦值的最大值． 例4．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； (3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值. 例5．（2024·江苏·一模）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．    (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求BQ的长． 例6．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知的直角边，点是从左到右的四等分点（非中点）.已知椭圆所在的平面⊥平面，且其左右顶点为，左右焦点为，点在上.    (1)求三棱锥体积的最大值； (2)证明：二面角不大于60°. 例7．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知三棱柱，其中，，点是的中点，连接，，异面直线和所成角记为．    (1)若，求三棱柱外接球的表面积； (2)若，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，求该截面面积． 例8．（2024·高一·浙江绍兴·期末）如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. (1)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围； (2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 例9．（2024·高三·重庆·阶段练习）如图所示，已知在四棱柱中，所有的棱长均为2，侧面底面为的中点，为棱上的动点（含端点），过三点的截面记为平面.    (1)是否存在点使得底面？请说明理由； (2)当平面与平面所成二面角的余弦值为时，试求平面截得四棱柱两部分几何体的体积之比（体积小的部分作比值的分子）. 【过关测试】 1．（2024·江西南昌·一模）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.    (1)若，求证：平面； (2)若，确定点的位置，并求二面角的余弦值. 2．（2024·高三·全国·专题练习）如图，四面体中，，，，为的中点．    (1)证明：平面平面； (2)设，，点在上； ①点为中点，求与所成角的余弦值； ②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 3．（2024·广东佛山·模拟预测）在四棱雉中，四边形为矩形，，，点为线段的中点．已知点在平面上的射影在四边形外，且直线与平面所成的角为． (1)设点为线段的中点，求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 4．（2024·山东日照·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．    (1)当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； (2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 5．（2024·高三·湖南·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，. (1)证明：是侧棱的中点； (2)求二面角的正弦值. 6．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，． (1)证明：； (2)若且的面积为，求与平面所成角的正弦值． 7．（2024·高三·重庆·开学考试）在如图所示的几何体中，平面平面，记为中点，平面与平面的交线为． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积与几何体的体积满足关系为上一点，求当最大时，直线与平面所成角的正弦值的最大值． 8．（2024·高三·安徽