2.4.1 圆的标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

1.圆的定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 定点 定长 圆心 半径 · r C 2.两点间距离公式: 已知点 ,则 复习: 2.4.1圆的标准方程 1.掌握圆的标准方程; 2.能熟练判断点与圆的位置关系; 3.掌握常见方法(代数法和几何法)求圆的标准方程. 学习目标: 考点1: 思考1:在平面直角坐系,如何确定一个圆? C M(x,y) r x o y (a,b) 圆心坐标和半径长度 思考2:圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程. 则|MC|=r P = {M| |MC|=r} 圆上所有点的集合 圆的标准方程 圆的标准方程 x y O C M(x,y) 圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为: ⑴圆(x－1)2+(y－1)2=9 ⑵圆(x－2)2+(y+4)2=2 圆心(2,－4),半径 ⑶圆(x+1)2+(y+2)2=m2 圆心(1,1),半径3 圆心(－1,－2),半径|m| (口答)求圆的圆心和半径; 考点2: 点与圆的位置关系 怎样判断点M(x0,y0)在圆C:(x-a)2＋(y-b)2＝r2的内部?还是外部? x y C(a,b) 2.已知圆心A(2, -3),半径等于5的圆的方程,判断点M(5,-7)、N(1,0)、Q(7,1)是在圆上,在圆内,在圆外? 1.已知 和圆(x – 2)2+(y+3)2=25, 则点M在 ( ) A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 B 即时训练 3.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部， 则a的取值范围是(　　) A.－1<a<1　　　 B.0<a<1 C.a<－1或a>1 D.－1<a<0 A 变式:已知集合A＝{(x,y)|x＝3a＋1,y＝4a},集合B＝{(x,y)|(x－2)2＋y2＜25a2},且A∩B≠∅,求实数a的取值范围. 4.已知圆C:x2＋y2＝1,点M(3,4)是圆C外定点,求点M与圆上动点连线距离的最大值与最小值. 考点3: 求圆的标准方程 待定系数法 解:设所求圆的方程为: ∵A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 ∴所求圆的方程为 例题:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 圆心:两条弦的中垂线的交点. 半径:圆心到圆上一点. x y O M A(5,1) B(7,-3) C(2,-8) 方法② 中垂线求法：①斜率；②中点坐标；③点斜式直线方程 x y O C A(1,1) B(2,-2) 大本跟踪训练2.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 考点4: 与圆有关的最值问题变式探究 y x C O 考点5: 圆的直径式方程 已知圆的直径的两个端点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则圆的方程为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 请证明！ 跟1.已知点A(2，－1)，B(4,1)，求以线段AB为直径的圆的 标准方程． 考点6: 与圆有关的对称性问题 2 二、圆关于点对称 [典例2]圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为________________ (x－2)2＋y2＝5 三、圆关于直线对称 [典例3]已知圆C与圆C1：(x－1)2＋y2＝1关于直线 y＝－x对称，则圆C的标准方程为________________ x2＋(y＋1)2＝1 方法1:利用点M到圆心C的距离与半径作比较： ①若|MC|<r，则点M在圆内； ②若|MC|＝r，则点M在圆上； ③若|MC|>r，则点M在圆外． 方法2:利用圆的标准方程判断： ①若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点M在圆外； ②若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点M在圆上； ③若(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，则点M在圆内． 即时训练： 如果实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6. 求:(1)eq \f(y,x)的最大值与最小值； (2)x＋y的最大值与最小值． (3)x2＋y2的最大值与最小值． 解:(1)设P(x，y)，则P点的轨迹就是已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝6. 而eq \f(y,x)的几何意义就是直线OP的斜率(O为坐标原点)， 如图(1)所示，设eq \f(y,x)＝k，则直线OP的方程为y＝kx. 由图(1)可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值． ∵点C到直线y＝kx的距离d＝eq \f(|3k－3|,\r(k2＋1))， ∴当eq