平面解析几何中的计算问题 专题训练-2024届高三数学二轮专题复习

第五篇 平面解析几何 专题01 平面解析几何中的计算问题 1、 高考再现，品味真题 1.（2023年·全国新高考I卷）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 2.（2022年·全国新高考I卷）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 3.（2021·全国新高考I卷）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点， 且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 4.（2020·全国新高考I卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 2、 模拟训练，冲刺高考 1．已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. (1)求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值； (2)过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值. 2．已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率． 3．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 4．设椭圆M：的离心率为，且内切于圆． (1)求椭圆M的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，椭圆上一点，求面积的最大值． 5．已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限. (1)求抛物线的方程. (2)证明： (3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求. 6．M是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． (1)求动点M的轨迹方程E； (2)设，，过点的直线l与曲线E交于A，B两点（点A在x轴上方），P为直线，的交点，当点P的纵坐标为时，求直线l的方程． 7．已知曲线（为参数），以坐标原点为极点，的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是． (1)判断和分别是哪种曲线，并求出和的交点的直角坐标； (2)在上任取一点，在上任取一点，试求取最大值时的面积． 8．如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． (1)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； (2)过的直线与相交于点三点，求证：． 9．已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是能物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 10．如图，已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率为，的面积为1，若过点的直线与相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：，，三点的横坐标，，满足关系式． 11．焦点在轴上的椭圆的左顶点为，，，为椭圆上不同三点，且当时，直线和直线的斜率之积为． (1)求的值； (2)若的面积为1，求和的值； (3)在（2）的条件下，设的中点为，求的最大值． 12．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆：的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，一光线从点射出经椭圆上点反射，法线（与椭圆在处的切线垂直的直线）与轴交于点，已知，.求椭圆的方程. 13．已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 14．费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）    (1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式． (2