2024年九年级中考数学复习讲义——新定义问题

北师大版中考复习：新定义问题 1、 计算类新定义问题 例1、 对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因为4>2,所以4﹡2.若是一元二次方程的两个根，则﹡= 　　　　　 答案： 解析：（1）当，＝3时，﹡=＝－3； 　　　（2）当，＝2时，﹡=＝3； 二、规律类新定义问题 例2、 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°= 1 ；① sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°= 1 ；② sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°= 1 ．③ … 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= 1 ．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想； （2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA． 解：∵sin30°=，cos30°=， ∴sin230°+cos230°=（）2+（）2=+=1；① ∵sin45°=，cos45°=， ∴sin245°+cos245°=（）2+（）2=+=1；② ∵sin60°=，cos60°=， ∴sin260°+cos260°=（）2+（）2=+=1．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④ （1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°． ∵sinA=，cosA=， ∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=， ∵∠ADB=90°， ∴BD2+AD2=AB2， ∴sin2A+cos2A=1． （2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角， ∴cosA=． 三、开放题型中的新定义问题 例3 、若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形． （1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线； （2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数． 解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC． ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB， ∴△ADB是等腰三角形． 在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°， ∴∠BDC=∠C=75°， ∴△BCD为等腰三角形， ∴BD是梯形ABCD的和谐线； （2）由题意作图为：图2，图3 （3）∵AC是四边形ABCD的和谐线， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB=AD=BC， 如图4，当AD=AC时， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠BAD=90°， ∴∠CAD=30°， ∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠BCD=60°+75°=135°． 如图5，当AD=CD时， ∴AB=AD=BC=CD． ∵∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90° 如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE=AD，∠ACE=∠DCE． ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四边形ABFE是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF=BC， ∴∠BCF=30°． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC． ∵AB∥CE， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°， ∴∠BCD=15°×3=45°． 四、三角形中的新定义问题 例4、（定义“新概念”） 我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我 们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”． （1）如图1，，在射线上找一点，过点作交于点．　　，　　（填“是”或“不是”）“完美三角形”； （2）如图2，∠BDC为钝角，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使∠EFC+∠BDC=180°，，若是“完美三角形”，求的度数． （1）解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°-∠MO