2024年福建省中考数学一轮复习 考点探究 第26课时　矩形、菱形、正方形课件

五　四 边 形 第26课时　矩形、菱形、正方形 考点一　矩形的性质 典例1 （人教8下P53例1变式）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝1，∠BOC＝120°，则AC的长为 　2　⁠. 2　 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABD的平分线与边AD交于点E，则DE的长是 　5　⁠. 5　 2.如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是（　C　） A. B. 1 C. D. C 典例2 （2023·宁德模拟）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝DF，求证：AE＝CF. 典例2图 解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，AB∥CD.∴ ∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∴ △ABE≌△CDF. ∴ AE＝CF. 考点二　矩形的判定 典例3 （2023·厦门思明模拟）如图，在▱ABCD中，M是AD的中点，连接BM，CM，且BM＝CM，求证：▱ABCD是矩形. 典例3图 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝DC，AB∥DC.∵ M是AD的中点，∴ AM＝DM.在△ABM和△DCM中， ∴ △ABM≌△DCM.∴ ∠A＝∠D.∵ AB∥DC，∴ ∠A＋∠D＝180°.∴ ∠A＝90°.∴ ▱ABCD是矩形. 考点三　菱形的性质 典例4 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OH的长为 　6　⁠. 6　 典例5 （2023·泉州德化模拟）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB于点E，OC＝2，BE＝7.求： 典例5图 解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC＝2OC＝4，AB＝BC.设AB＝BC＝x，则AE＝x－7.在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2－AE2＝EC2；在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC2－BE2＝EC2.∴ AC2－AE2＝BC2－BE2，即42－（x－7）2＝x2－72，解得x＝8或x＝－1（不合题意，舍去）.∴ AB＝8，EC＝＝.∴ 菱形ABCD的面积＝AB·EC＝8×＝8. 典例5图 （1） 菱形ABCD的面积； （2） BD的长. 解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，OA＝OC＝2，BD＝2BO.由（1），知AB＝8.在Rt△ABO中，由勾股定理，得BO＝＝＝2.∴ BD＝4. 典例5图 考点四　菱形的判定 典例6 （北师9上P13习题1.4第3题变式）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E是AD的中点.求证：四边形BCDE是菱形. 典例6图 解：∵ E为AD的中点，∴ AE＝ED＝AD.∵ AD＝2BC，∴ ED＝BC. ∵ AD∥BC，∴ 四边形BCDE是平行四边形.∵ ∠ABD＝90°，E为AD的中点，∴ BE＝AD.∴ BE＝ED.∴ 四边形BCDE是菱形. [方法归纳] 判定一个四边形是菱形的三种证明思路 一是先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等；二是先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直；三是证明四条边都相等.解题时要灵活选用判定方法进行证明. 考点五　正方形的性质 典例7 如图，E，F是正方形ABCD对角线BD上的两点，BD＝8，BE＝DF＝2，则四边形AECF的面积是 　16　⁠. 16　 典例8 （2023·漳州漳浦模拟）（人教8下P62习题18.2第15题变式）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，连接BE，AF.求证：BE＝AF. 典例8图 解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.∵ DE＝CF，∴ AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF.在△ABE和△DAF中，∴ △ABE≌△DAF.∴ BE＝AF. 考点六　正方形的判定 典例9 如图，在矩形ABCD中，E是BC边的一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD. 典例9图 （1） 求证：四边形EFDC是正方形； 解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°.∵ EF∥DC，∴ 四边形EFDC是平行四边形.∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠CDE. ∵ AD∥BC，∴ ∠ADE＝∠DEC.∴ ∠CDE＝∠DEC. ∴ CD＝CE.∴ 四边形EFDC是菱形.又∵ ∠C＝90°，∴ 四边形EFDC是正方形. 典例9图 （2） 若BE＝1，ED＝2，求BD的长. 解：（2） ∵ 四边形EFDC是正方形，∴ ∠CDE＝45°.∵ ∠C＝90°，ED＝2，∴ 在Rt△