第06讲 9.2.4 总体离散程度的估计（知识清单+6类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第06讲 9.2.4 总体离散程度的估计 课程标准 学习目标 ①理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差。 ②.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法。 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法．但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策．这节课我们共同来研究总体离散趋势的有关知识． 知识点1：总体离散程度的估计 （1）极差 一组数据中的最大值与最小值的差称为极差. （2）方差与标准差 一组数据，，，，用表示这组数据的平均数， 则这组数据的方差：； 标准差： 【即学即练1】（2024·陕西安康·校联考模拟预测）已知五个数，，，，的平均数为，则这五个数的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，得， 则方差. 故选：A. 【即学即练2】（2023·广东珠海·统考模拟预测）已知数据的平均数是5，则这组数据的标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，解得， 故这组数据的方差为， 故标准差为. 故选：D （3）总体方差和标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为,,总体平均数为，则称 为总体方差，为总体标准差． （4）样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为，，，样本平均数为，则称 为样本方差，为样本标准差． （5）加权方差 如果总体的个变量值中，不同的值共有()个，记为,,，其中出现的频数为()，则总体方差为. 题型01计算几个数据的极差，方差，标准差 【典例1】（多选）（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）已知一组数据的平均数为5 ， 则此组数据的（    ） A．众数为2 B．上四分位数为4 C．极差为 3 D．方差为 【典例2】（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）某台机床生产一种零件，在10天中每天生产的次品零件数依次是：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4，这组数据的平均数是 ，中位数是 ，标准差是 . 【典例3】（2024上·广西桂林·高一统考期末）一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为 . 【变式1】（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知一组数据1，3，9，5，7，则这组数据的标准差为 ． 【变式2】（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为 . 【变式3】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为22，现场作的7个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则5个剩余分数的方差为 题型02根据方差，标准差求参数 【典例1】（2023下·江西赣州·高三统考阶段练习）某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x，y.已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【典例2】（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知如下的两组数据： 第一组：10、11、12、15、14、13 第二组：12、14、13、15、a、16 若两组数据的方差相等，则实数的值为 . 【典例3】（2023下·湖北武汉·高一校联考期末）已知一组数据，，，的平均值为，，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大4，则这组数据的个数 ． 【变式1】（2022上·湖北·高二校联考阶段练习）已知样本的平均数是9，方差是2，则（    ） A．41 B．71 C．55 D．45 【变式2】（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考阶段练习）已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则 ． 【变式3】（2022下·河南焦作·高一统考期末）已知一组数据的平均数，方差，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数 . 题型03方差，标准差性质 【典例1】（2024上·云南保山·高三统考期末）将每个数均加上9，得到，则两组数数字特征不同的是（    ） A．平均数 B．方差 C．极差 D．众数的个数 【典例2】（2023上·吉林白城·高三校考阶段练习）已知数据，，…，的极差为8，方差为6，则数据，，…，的极差和方差分别为（    ） A．24，19 B．25，19 C．24，54 D．25，54 【典例3】（多选）（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习