专题03 导数及其应用（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（人教B版2019 选择性必修第三册）

人教B版(2019) 选择性必修第三册 期中考点大串讲 串讲03 第六章 导数及其应用 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 知识点1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. (1)平均变化率:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为__________,若Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为__________.  微思考函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的几何意义是什么? 提示 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是指其图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率. 知识点2.导数的概念 导数是用极限来刻画的 (3)导函数:对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即f'(x)=y'=____________________.  f'(x0) 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,即k0=__________.  即在点(x0,f(x0))处 微思考已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的斜率吗? f'(x0) 提示 不一定,如果点P在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就是曲线在点P处的切线的斜率,如果点P不在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就不是曲线在点P处的切线的斜率. 知识点3.导数的几何意义 知识点4.函数的单调性与其导数的关系 条件 导数的符号 函数的单调性 函数f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a,b)内____________ f'(x)<0 f(x)在(a,b)内____________ 不等式中不带“=” 不等式中不带“=” 微思考“函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件? 单调递增 单调递减 提示 充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0. 微点拨 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)求函数的定义域; (2)求f(x)的导数f'(x); (3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间. 常用结论 1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),则在(a,b)内f'(x)≥0(≤0)恒成立. 2.若函数f(x)在区间(a,b)内存在单调递增(减)区间,则在(a,b)内f'(x)>0(<0)有解. 3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”. 知识点5.函数的极值与导数 条件 f'(x0)=0 x0附近的左侧f'(x) ______0,右侧f'(x) ______0  x0附近的左侧f'(x) _______0,右侧f'(x) _______0  图象   形如山峰   形如山谷 极值 f(x0)为极_______值  f(x0)为极_______值  极值点  x0为极_______值点  x0为极_______值点  函数极值反映的是函数局部的性质 极值点是一个实数 > < < > 大 小 大 小 微点拨对函数极值的理解 (1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点. (2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小. 微思考若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗? 提示 不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值. 知识点6.函数的最值与导数 (1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它必有最大值和最小值.  (