第23讲 数列不等式的最值与范围问题-2024年新高考数学二轮复习专题突破精练（新高考地区专用）

第23讲 数列不等式的最值与范围问题 【典型例题】 例1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·高二·福建宁德·期中）已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例3．（2024·河南·模拟预测）对于数列，定义为数列的“加权和”．设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例5．（2024·高三·江苏·专题练习）设数列首项，前n项和为，且满足，则满足的所有n的和为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 例6．（多选题）（2024·高三·安徽·阶段练习）已知正项数列满足：，，则以下结论正确的是（    ） A．若时，数列单调递减 B．若时，数列单调递增 C．若时， D．若，数列的前项和，则 例7．（2024·高三·江苏·专题练习）数列满足，数列满足，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 例8．（2024·高三·江苏·专题练习）记数列的前n项和为，且，设m为整数，且对任意，，则m的最小值为 ． 例9．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知正项数列满足：. (1)设，试证明为等比数列； (2)设，试证明； (3)设，是否存在使得为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由. 例10．（2024·高二·湖北·期末）已知是等差数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（ ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足，若对任意正实数，总存在和相邻两项，使得成立，则实数t的最小值为（ ） A．9 B．9.5 C．10.5 D．17 3．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·一模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题 5．（2024·高三·河北承德·期中）已知数列满足，，则（    ） A．数列单调递减 B． C． D． 6．（2024·高三·吉林白城·期中）已知数列满足，，且，则下列说法正确的是（    ） A．， B．是递增数列 C． D．，， 7．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（    ） A． B．当为奇数时， C． D．的取值范围为 8．（2024·高三·山东·开学考试）已知数列满足，是前n项和，若，（且），若不等式对于任意的恒成立，则实数的值可能为（    ） A．－4 B．0 C．2 D．5 三、填空题 9．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的首项，数列满足，为数列的前n项和，且满足：，则数列的通项公式为 ，若对且，不等式恒成立，则t的取值范围为 10．（2024·高三·全国·专题练习）已知是各项均为正实数的数列的前n项和，，若，则实数m的取值范围是 ． 11．（2024·高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ． 12．（2024·高三·全国·专题练习）数列满足，数列满足，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 13．（2024·青海·一模）已知数列的前n项和为，且，，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 14．（2024·河北·一模）已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则 ；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和